A számelméletben a Mertens-függvény meghatározása:

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$,

minden n természetes számra, ahol ${\displaystyle \mu (k)}$ a Möbius-függvény. Franz Mertens német matematikusról nevezték el.

Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és minden x-re |M(x)| ≤ x.

A hiperbola-módszerrel közvetlenül adódik, hogy a prímszámtétel ekvivalens azzal, hogy ${\displaystyle M(x)=o(x)}$. A Riemann-sejtés pedig azzal ekvivalens, hogy minden ${\displaystyle \varepsilon >0}$-ra ${\displaystyle M(x)=O(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })}$.

Mertens 1897-ben felállította azt a sokkal erősebb sejtést, hogy alkalmas c-re ${\displaystyle |M(x)|<c{\sqrt {x}}}$, sőt, hogy c=1 megfelel, azaz ${\displaystyle |M(x)|<{\sqrt {x}}}$ teljesül minden x>1-re. Ezt Thomas Joannes Stieltjes már 1885-ben kimondta, sőt, egy Charles Hermite-hez írt levelében azt állította, hogy be is bizonyította. Ebben a sejtésben lényegében senki nem hitt, mégis csak 1983. október 18-án sikerült megcáfolnia Andrew Odlyzkónak és H. J. J. te Rielenek hosszadalmas számítógépes kutatás segítségével, ami felhasználta Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra és Lovász László nevezetes LLL-algoritmusát.

Azt is belátták, hogy végtelen sokszor teljesül ${\displaystyle M(x)>1{,}06{\sqrt {x}}}$, illetve végtelen sokszor teljesül ${\displaystyle M(x)<-1{,}009{\sqrt {x}}}$.

Eljárásuk azonban nem volt konstruktív, azaz csak olyan x szám létezését bizonyította (ún. egzisztenciabizonyítás), amire ${\displaystyle |M(x)|>{\sqrt {x}}}$, nem sikerült még becslést sem adnia x nagyságára.

1985-ben Pintz János mély analitikus módszerek segítségével belátta, hogy van ilyen x

${\displaystyle 10^{3,21\cdot 10^{4}}}$

alatt. (Itt ${\displaystyle o,O}$ az ordó jelölésre utal.)

Kiszámítás

A Mertens-függvényt az idők során egyre nagyobb n-ekre számolták ki.

Mathematica

A Mathematica programban a Sumn, {n, a} összegzéssel számolható ki a függvény értéke a-ra.