A természetes logaritmus az e alapú logaritmus, ahol e egy irracionális szám, melynek értéke tíz tizedesre: 2,7182818284…

Az e szokásos elnevezése Euler-féle szám, mivel Leonhard Euler svájci matematikus használta először ezt a jelölést 1727-ben.

A természetes logaritmus jelölése ln(x), log_e(x) vagy log(x), ha egyértelmű, hogy természetes logaritmusról van szó.^[1]

Egy x pozitív szám természetes logaritmusán azt a hatványkitevőt értjük, melyre e-t emelve x-et kapjuk.

Például ln(7,389...) = 2, mert e²=7,389....

Az e természetes logaritmusa 1 (ln(e) = 1), mert e¹ = e, továbbá az 1 természetes logaritmusa nulla (ln(1) = 0), mivel e⁰ = 1.

Bármely a pozitív valós szám természetes logaritmusa definiálható az f(x)=1/x (x>0) függvény görbe alatti területeként (integráljaként) az intervallumon. Ennek a definíciónak egyszerűsége vezet a “természetes” jelzőhöz.

A definíció kiterjeszthető nem-zéró komplex számokra is.

A természetes logaritmus függvény, ha valós változók valós függvényeként tekintjük, akkor az exponenciális függvény inverz függvénye:

${\displaystyle e^{\ln(x)}=x,\qquad {\mbox{ha }}x>0\,\!}$

${\displaystyle \ln(e^{x})=x.\,\!}$

Mint minden logaritmus, a természetes logaritmus is szorzást összeadásra vezeti vissza:

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\!\,}$

Az algebrában ennek a tulajdonság a neve izomorfia, amikor egy csoportnál a szorzást összeadásra, az osztást kivonásra lehet átalakítani. Ez a tulajdonság tette lehetővé a logaritmusok használatát a logarléccel történő szorzás, osztás, hatványozás műveleteknél. Manapság nem használnak már logarlécet, de a számológépek belső programjában szintén használható ez az elv.

A logaritmusok bármely 1-nél nagyobb pozitív számra értelmezhetők, nemcsak az e-re. A különféle logaritmus-alapok egy konstans szorzóval különböznek egymástól.

A logaritmusok hasznosak olyan egyenletek megoldásánál, ahol az ismeretlen a kitevőben van. A logaritmusokat például a felezési idő, a bomlási állandó vagy az ismeretlen idő kiszámítására használják exponenciális bomlás esetén.

Történet

1668-ban, Nicholas Mercator említette „Logarithmotechnia” című művében a természetes logaritmust.^[2] John Speidell, matematikatanár, 1619-ben összeállított egy táblázatot, ahol a természetes logaritmus szerepelt.^[3] Gregoire de Saint-Vincent és Alphonse Antonio de Sarasa már 1649 előtt foglalkozott vele.^[4] Írásuk a xy = 1 hiperbola kvadratúráját is tartalmazta. Hiperbolikus logaritmusnak is hívták ,^[5] mivel a hiperbola görbe alatti területének felel meg. Gregoire de Saint-Vincent és Alphonse Antonio de Sarasa megmutatta azt is, hogy a kvadratúrával definiált logaritmus tulajdonságai a természetes logaritmusra teljesülnek. Szokták néha a Napier-féle logaritmust is természetes logaritmusnak is hívni, de az kissé más jellegű kifejezés.

Jelölési konvenciók

Számos változat van forgalomban a természetes logaritmus jelölésére.

Ilyenek: "log(x)" , "ln(x)" vagy log_e(x), azaz x természetes logaritmusa, ha pedig 10-es alapú logaritmusról van szó, akkor: "log₁₀(x)".

Az általánosan használt programozási nyelveknél, mint például C, C++, SAS, MATLAB, Fortran, Pascal és BASIC nyelveknél, a "log", "Log" vagy a "LOG" utal a természetes logaritmusra. A zsebszámológépeknél a természetes logaritmust az ln jelöli, a log jelölés a 10-es alapú logaritmus jelölése. Az elméleti számítástechnika tudományban, az információelméletben és a kriptográfiában a "log(x)" általában log₂(x)-et jelent (de ezt is szokták lg(x)–nek jelölni).

Természetes logaritmus eredete

Kezdetben úgy tűnt, hogy a 10-es alapú logaritmus „természetesebb”, mint az e alapú. Azonban matematikailag a 10 nem különösen szignifikáns. Ennek kulturális okai vannak, meg az, hogy az embernek 10 ujja van.^[6] Korábban több kultúra 5, 8, 12, 20 vagy 60 alapú számrendszert használt.^[7][8][9]

A természetes logaritmus kitüntetett a hiperbolával való kapcsolata miatt, és azért, mert az 1 helyen a deriváltja (meredeksége) 1. Az e-nél nagyobb alapú logaritmusok esetén ez az érték 1-nél kisebb, kisebb alapok esetén ez az érték 1-nél nagyobb. Ennek a helynek a közelében viszonylag pontosan közelíthető a természetes logaritmus, ha kivonunk a számból 1-et. Így például 1,01 természetes logaritmusa 0,01, 5 tizedesjegy pontossággal. Mindezek a tulajdonságok számrendszertől függetlenek.

A természetes logaritmusra egy példa.

Tekintsük a logaritmusfüggvény differenciálását:^[10]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\ln(b)}}\ln {x}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(b)}}}$

Ha b egyenlő e, akkor a derivált egyszerűen 1/x, és x = 1-nél a derivált 1. Egy másik indok, hogy az e alapú logaritmus a legtermészetesebb, az, hogy könnyen definiálható egyszerű integrálként vagy Taylor-sorként, és ez nem igaz más logaritmusokra. További adalék, hogy több egyszerű sorozat természetes logaritmust használ. Pietro Mengoli és Nicholas Mercator nevezte el természetes logaritmusnak néhány évtizeddel azelőtt, hogy Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz kifejlesztette a matematikai analízist.^[11]

Definíciók

Az ln(a) definiálható, mint egy integrál, az 1/x függvény integráljaként:

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Ez a függvény egy logaritmus, mert kielégíti a logaritmus alapvető tulajdonságát:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!}$

Ez jól látható, ha szétválasztjuk az integrált, mely az ln(ab) függvényt két részre bontja, majd behelyettesítést végzünk: x = ta:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)}$

${\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)}$

Az e szám definiálható, mint egy a valós szám, ahol ln(a) = 1.

Másrészt, ha az exponenciális függvényt definiáljuk először, mondjuk egy végtelen sorral, a természetes logaritmus egy inverz függvényként definiálható, azaz: ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\!}$. Mivel az exponenciális függvény a valós argumentumokra mindig pozitív valós szám, és az exponenciális függvény szigorúan növekvő, ezért ez jól meghatározott minden pozitív x-re.

Tulajdonságok

• ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\ln x=-\infty }$
• ${\displaystyle \ln(1)=0\,}$
• ${\displaystyle \ln(e)=1}$
• ${\displaystyle \ln(-1)\ni i\pi \quad \,}$ (a komplex természetes logaritmus egyik értéke)
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\quad {\text{ha}}\quad x>0,y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\quad {\text{ha}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad \quad 0<x<y\;}$
• ${\displaystyle \frac{h}{1+h}\le <!--\; \le \; -->\ln <!--\; \; -->(1+h)\le <!--\; \le \; -->hh>-<!--\; -\; -->1}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Természetes_logaritmus
  A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

  ---