A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.[megj 1]
A komplex számok megalkotása
A komplex számok halmazát vagy betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)
A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.
Halmazelméleti modell | Geometriai modell | Algebrai modell |
---|---|---|
,
azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az Descartes-szorzat. |
, ahol az alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge) | , azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai) |
Szorzás: | Szorzás: | Szorzás: |
Itt a függvénykompozíció ( ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja | a polinomok szorzása | |
Összeadás: | Összeadás: | Összeadás: |
a képpontba mutató vektorok összege | a polinomok összeadása | |
A szorzás egységeleme: | A szorzás egységeleme: | A szorzás egységeleme: |
1 := (1,0) | 1 := F0° = id (a nulla fokos forgatás) | 1 := az azonosan 1 polinom |
Az x2 = -1 egyenlet megoldása: | Az x2 = -1 egyenlet megoldása: | Az x2 = -1 egyenlet megoldása: |
(0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1 | F+90°F+90° = F180° = – id = – 1 | xx = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1 |
A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint
- a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.
Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).
Halmazelméleti modell
A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az
formulával definiáljuk;
a szorzást a kissé légbőlkapott
egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, ) matematikai struktúra valóban testet alkot a
- 0 := (0,0) additív neutrális elem és a
- 1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem
választásával.
Érdemes még felírni az additív inverz elemet:
és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:
A valós számtestet az
- R R×R, a (a,0)
bijektív azonosítással kapjuk.
A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:
- (0,1)2 = (0,1)(0,1) = (00 – 11,10 + 01) = (-1,0) = -1
Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.
Geometriai modell
A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó leképezés mátrixa:
Analóg multiméterek túlterhelés elleni védelme
Egyenáram
Egyenáram mérése
Egyenirányítós lengőtekercses műszer
Elektromágnes (fizika)
Elektromos feszültség
Elektromos térerősség
Fáziseltolódás
Fázismutató
Fajlagos ellenállás
Feszültséggenerátor
Feszültségváltó
Forgó mágneses tér
Háromfázisú hálózat
Hőelektromosság
Hatásos ellenállás
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.