A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Az Euler-féle szám (jele: e) egy matematikai állandó, amit a természetes logaritmus alapjaként használnak. Irracionális és transzcendens.
A π és a képzetes egység i mellett az e az egyik legfontosabb állandó a matematikában.
Az e szám Euler-féle számként is ismert Leonhard Euler matematikus után, de Napier-állandónak is nevezik John Napier skót matematikusnak, a logaritmusfüggvény megalkotójának tiszteletére.
Értéke 500 értékes jegyre megadva:
e = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931
Definíció
Az e néhány ekvivalens definíciója:
- Az e a következő sorozat határértéke:
- Az e a következő végtelen sor összege:
- ahol n! a faktoriálisa az n természetes számnak.
- Az e az a pozitív valós szám, amelyre
Tulajdonságok
Az ex exponenciális függvény az egyetlen függvény (konstanssal való szorzás erejéig), amely önmaga deriváltja, és így önmaga primitív függvénye:
- és
- , ahol C konstans.
Az e irracionális (bizonyítás) és transzcendens szám (bizonyítás). Az első szám volt, amiről bebizonyították, hogy transzcendens (kivéve azokat a számokat, amiket szándékosan transzcendensre konstruáltak). A bizonyítást Charles Hermite 1873-ban végezte el. Sejtések szerint normális szám, azaz számjegyei véletlenszerűen fordulnak elő. Szerepel az Euler-képletben, amely az egyik legfontosabb matematikai azonosság:
- ,
Az speciális esetet Euler-azonosságnak nevezik:
amit Richard Feynman Euler drágakövé-nek nevez.
Az e lánctört alakba fejtve egy érdekes mintát tartalmaz (A005131 sorozat az OEIS-ben), ami így írható le:
Az e hatványait kifejezhetjük a következőképpen:
Minden valós x számra teljesül az
egyenlőtlenség.
Ezt egy pozitív valós x esetén -re alkalmazva
azaz átrendezve és egyszerűsítve
azaz , más szóval pozitív x-re az függvény -re éri el maximumát.
A logaritmusokra vonatkozó azonosságok alapján:
Története
John Napier logaritmusról írt művében jelentek meg az első utalások az e számra 1618-ban. A függelék nem adott közelítést magára a számra, de tartalmazott egy táblázatot a természetes logaritmusról. Ezt a táblázatot feltehetően William Oughtred készítette. Az e számot elsőként Jacob Bernoulli használta, amikor ennek a kifejezésnek az értékét kereste:
A szám első ismert alkalmazása Gottfried Wilhelm Leibniz és Christiaan Huygens levelezésében jelent meg 1690-ben és 1691-ben, ahol is b-vel jelölték. Elsőként Leonhard Euler használta az e betűt 1727-ben, és az 1736-ban megjelent Mechanicá-ban. Egyes kutatók az ezt követő években a c betűt használták, de végül az e terjedt el.
Az e betű választásának okai ismeretlenek, de egyes elméletek szerint az exponenciális szó első betűjéből ered. Egy másik elgondolás szerint ez az első magánhangzó az a után, amivel Euler egy másik számot jelölt. Ez az elgondolás nem magyarázza meg, hogy Euler miért használta ezeket a magánhangzókat. Nem valószínű, hogy a saját nevének kezdőbetűjét használta volna, hiszen nagyon szerény volt, és mindig megadta mások munkáinak a kellő tiszteletet.[1]
Matematikán kívüli használata
Az e az egyik leghíresebb matematikai konstans, ezért a matematikán kívül is népszerű. Néhány példa:
- 2004-ben az IPO (a Google leányvállalata) 2 718 281 828 dolláros növekedést akart.
- Donald Knuth a METAFONT verziószámait úgy állapította meg, hogy azok az e számot közelítsék. Így a verziószámok 2, 2.7, 2.71, 2.718, …
- Szintén a Google tehet egy rejtélyes hirdetőtábláról, amely először a Szilícium-völgyben, majd a Massachusetts állambeli Cambridge-ben jelent meg, amely így szólt {az első tízjegyű prímszám, amely az e egymást követő számjegyeiben található}.com. Aki megoldotta a feladatot és meglátogatta a megjelölt weblapot, egy sokkal nehezebb megfejtendő feladatot talált. (Az első tízjegyű prímszám, amely az e számjegyeiben előfordul, a 7427466391, amely meglepő módon csak a 101. számjegynél kezdődik.) Archiválva 2007. május 29-i dátummal a Wayback Machine-ben
- A neper (Np) mértékegység, ami két szám arányát adja meg, e-alapú logaritmust használ (ellentétben a decibel 10-es alapjával). Felhasználása: nyomás, térerősség, jelszint stb.[2]
;
Hivatkozásokszerkesztés
- ↑ Eli Maor: E: The Story of a Number. Princeton University Press. 1994. ISBN 978-0-691-14134-3. p. 156.
- ↑ Archivált másolat. 2015. június 10-i dátummal az eredetiből archiválva. (Hozzáférés: 2010. szeptember 12.)
Forrásokszerkesztés
- Maor, Eli; e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
- O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "Az e szám"; University of St Andrews Scotland (2001)
- O'Connor: "The number e"
További információkszerkesztés
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.
Analóg multiméterek túlterhelés elleni védelme
Egyenáram
Egyenáram mérése
Egyenirányítós lengőtekercses műszer
Elektromágnes (fizika)
Elektromos feszültség
Elektromos térerősség
Fáziseltolódás
Fázismutató
Fajlagos ellenállás
Feszültséggenerátor
Feszültségváltó
Forgó mágneses tér
Háromfázisú hálózat
Hőelektromosság
Hatásos ellenállás
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.