A geometriában a sík két, egymással ${\displaystyle \theta }$ szöget bezáró ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ vektorának skaláris szorzata az ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \;}$^[1] valós szám. Két geometriai vektor skaláris szorzatát tehát úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk a hosszukat és az általuk közbezárt szög koszinuszát. A skaláris szorzás ezek szerint kétváltozós függvény, amely a vektorpárokat a valós számokra képezi. Bár a vektorok skaláris szorzása számos tekintetben hasonlít a számok szorzására, lényeges különbség az, hogy míg két szám szorzata ismét szám, két vektor skaláris szorzata nem vektor, hanem szám (skalár; innen ered az elnevezés), így szigorúan véve ez a leképezés nem is nevezhető műveletnek. A skaláris szorzatot néha belső szorzatnak is nevezik. Szokásos jelölése: ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$, ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$, ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ vagy ${\displaystyle \langle {\mathbf {a} },{\mathbf {b} }\rangle }$.^[2]

A skaláris szorzatnak fontos közvetlen alkalmazásai vannak a geometriában és a fizikában, igazi jelentőségét azonban az adja, hogy a skalárszorzat-fogalomnak számos általánosítása és absztrakciója van, amelyek révén alkalmazható a koordinátageometriában,^[3] a lineáris algebrában, a vektoranalízisben, a funkcionálanalízisben, az ortogonális függvénysorok elméletében, a statisztikában és a számítástechnikában is.

A széleskörű alkalmazhatóság kulcsa az a megfigyelés, hogy ha a két összeszorzandó síkvektor koordinátáival adott: ${\displaystyle \mathbf {a} =}$ és ${\displaystyle \mathbf {b} =}$, akkor skaláris szorzatuk épp az

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}$ mennyiség.

Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a skalárszorzat fogalmát tetszőleges n-dimenziós valós vektorterek elemeire is kiterjesszük, és az ${\displaystyle \mathbf {a} =}$ és ${\displaystyle \mathbf {b} =}$ n-dimenziós vektorok skalárszorzatát az

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

egyenlőséggel definiáljuk.

Ennek révén aztán a lineáris algebrában szokásos absztrakt vektorokkal kapcsolatban is beszélhetünk olyan alapvetően geometriai jellegű fogalmakról, mint a hosszúság, a hajlásszög, az irány, a merőlegesség és a párhuzamosság, valamint a vetület. Ugyanakkor a fordított irányú kapcsolat lehetővé teszi, hogy geometriai feladatokat aritmetikai, algebrai számítások elvégzésére vezessünk vissza, ami a koordinátageometria és a geometria fizikai-műszaki alkalmazásainak az alapja.^[4]

Motiváció és történeti háttér

Történetileg a skaláris szorzás motivációját a mechanikai munka fizikai fogalma adja. Ismert, hogy ha egy test valamilyen erő hatására a kérdéses erő irányába elmozdul, akkor az erő által végzett munka (a test mozgási energiájának növekedése) az erő és az elmozdulás szorzata. Az erő és az elmozdulás azonban egyaránt vektormennyiségek, és előfordulhat, hogy irányuk nem esik egybe. Ilyenkor az erő által végzett munka továbbra is lineáris függvénye mind az erőnek, mind az elmozdulásnak, de a munka tényleges mértékének kiszámításában csak az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense játszik szerepet. Ha ${\displaystyle \theta }$ jelöli az ${\displaystyle {\vec {F}}}$ erővektor és az ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ elmozdulásvektor hajlásszögét, akkor ez a komponens épp az erővektor ${\displaystyle \cos \theta }$-szorosa, így az erő által végzett munka ${\displaystyle |}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Skalárszorzat
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.