Mozgási energia -

A mozgási energia (kinetikus energia) a mozgásban levő testek energiája, melyet mozgásuk folytán képesek munkavégzésre fordítani. A klasszikus fizikában a mozgási energiát a vele szoros kapcsolatban álló munkából származtatják.^[1] Egy adott sebességgel mozgó test mozgási energiájának nagysága megfelel annak a munkának, melyet a test nyugalomból az adott sebességig történő gyorsításkor kell végezni. Az energia munkával való szoros kapcsolatát a munkatétel írja le, továbbá mindkettő mennyiség SI-beli mértékegysége joule.

Megjegyzendő, hogy a modern fizikában az energia általánosabb fizikai mennyiség, így a munka és az energia értelmezése fordítva történik: a munkát tekintik az energiaátadás egy lehetséges formájának.^[1]

Tapasztalati tények

A természetben és a mindennapi életben gyakran megfigyelhetünk munkavégzésre képes tárgyakat. Hétköznapi szemléletünk szerint egy mozgó tárgy mozgásba hozhat egy másikat, miközben lassul, a másik tárgyat pedig gyorsítja. A fizikai értelmezés szerint ekkor azt mondjuk, hogy az egyik test munkát végzett a másikon, melynek következtében mozgásállapotuk megváltozott. Ezzel magyarázható például biliárdgolyók ütközés előtti és utáni mozgása.

Előfordul az is, hogy egy tárgy mozgásából fakadó energiája bizonyos kölcsönhatásban más energiává alakul. Súrlódó testen például maga a súrlódási erő végez munkát, miközben hőenergia szabadul fel, illetve gravitációs térben feldobott tárgy mozgási energiája először helyzeti energiává, majd a tárgy visszahullásakor ismét mozgási energiává alakul.

Munkavégzés közben jellemzően az alábbi folyamat játszódik le: egy test a másikkal valamilyen kapcsolatba hozva azon munkát végez, így energiacsere történik a testek között. A gyakorlatban az energiaátadást veszteségek is kísérik, melyeket disszipatív folyamatok okoznak.

Fizikai értelmezése

Klasszikus definíció tömegpontra

A mozgási energia kifejezéséhez elsőként tekintsük azt a munkát, melyet a mozgó testen (az egyszerűség kedvéért tömegponton) egy elemi időegység alatt egy F erő végez:

$dW=\mathbf {F} d\mathbf {r}$ .^{[* 1]}

Makroszkopikus mozgás esetén ezt a kifejezést a teljes útra összegezve kapjuk az elvégzett makroszkopikus munkát, azaz a munka az erő vonal menti integrálja:

$W_{12}=\int \limits _{1}^{2}dW=\int \limits _{1}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {r} )d\mathbf {r}$ .

Ha egy tömegpontra az 1. és 2. pont között F_e eredő erő hat, a fentiek értelmében az ${\textstyle W_{e}=\int _{1}^{2}\mathbf {F_{e}} d\mathbf {r} }$ eredő munkát végez. Írjuk bele ebbe Newton 2. törvényét (azaz hogy $\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {\dot {v}}$ ), illetve fejezzük ki az elemi elmozdulást az elemi idővel $d\mathbf {r} =\mathbf {v} dt$ összefüggés segítségével. Így a végzett munkára azt kapjuk, hogy:

$W_{12}=\int \limits _{1}^{2}\mathbf {F_{e}} d\mathbf {r} =\int \limits _{1}^{2}m\mathbf {\dot {v}} \mathbf {v} dt=m\int \limits _{1}^{2}\mathbf {v} d\mathbf {v} =m\left_{1}^{2}={\frac {1}{2}}m{\textbf {v}}_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}m{\textbf {v}}_{1}^{2}$ .

Azaz a végzett munka a kezdeti és befejező sebességektől függ, míg az időtől, az úttól nem.

Definíció szerint a kinetikus energia:

$E_{k}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}$ ,

mellyel a munka kifejezése az alábbiakban írható (ez a tömegpontra vonatkozó munkatétel):

$W=\Delta E_{k}$

A gyorsítási munka végzése közben a test által nyert E_k mozgási energia felírható a sebesség (v) és az impulzus (p) skaláris szorzatának az integráljával is:

E_{k}=\int \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {p}

.

Kiterjedt testre

Forgást is végezni képes testre ez a kép kiegészül a forgási kinetikus energiával. A klasszikus mechanikában egy test teljes kinetikus energiája egyenlő a test haladási kinetikus energiájának és forgási kinetikus energiájának összegével:

E_{k}=E_{t}+E_{r}\,\!

ahol:

E_k a teljes kinetikus energia
E_t a haladási kinetikus energia
E_r a forgási kinetikus energia

Egy m tömeggel rendelkező, egyenes vonalban, egyenletes sebességgel mozgó testnek a haladási kinetikus energiáját a következőképpen számíthatjuk ki:

E_{t}={\frac {1}{2}}mv_{TKP}^{2}

ahol:

E_t a haladási kinetikus energia
m a test tömege
v_TKP a test tömeg-középpontjának sebessége

Tehát 10 m/s sebességgel mozgó, 1 kg tömegű test mozgási (kinetikus) energiája 50 J, 100 m/s-nál 5 kJ stb.

Ha egy merev test forog, akkor a forgási kinetikus energiája a következő képlettel számítható ki:

E_{r}={\frac {1}{2}}\,{\vec {\omega }}^{\mathrm {T} }\Theta _{\mathrm {TKP} }{\vec {\omega }}=\Sigma m_{i}({\vec {\omega }}\times \mathbf {r_{i}} )^{2}

,

ahol:

E_r a forgási kinetikus energia
$\Theta _{\mathrm {TKP} }$ a test tehetetlenségi nyomatéki mátrixa a súlypontra számítva
${\vec {\omega }}$ a test szögsebessége, ${\vec {\omega }}^{\mathrm {T} }$ ennek transzponáltja
r_i az i-ik tömegpontba mutató helyvektor.

Relativisztikus megfogalmazása

Einstein relativitáselméletében (ami főleg a fénysebességhez közeli esetekben jelent nagy eltérést a newtonitól) a test mozgási energiája:

E_{k}=mc^{2}(\gamma -1)=\gamma mc^{2}-mc^{2}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)mc^{2}

ahol:

E_k a test kinetikus energiája
v a test sebessége
m a test nyugalmi tömege
c a fény sebessége vákuumban
γmc² a test teljes energiája $\left(\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\right)$
mc² a nyugalmi tömeg energiája

Ahol a gravitáció gyenge és a testek a fénysebesség töredékével mozognak (például a Földön mozgó testek), Newton képlete tökéletes megközelítése a relativisztikus mozgási energiának: ha v közelít a nullához, a fenti képlet és a klasszikus mechanikai képlet hányadosa tart az 1-hez:

\lim _{v\to 0}{\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}\ }}}-1\right)mc^{2} \over {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}}=1.

Source: Mozgási_energia

[1]

[* 1]