Ez a szócikk a matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Vektor (egyértelműsítő lap).

A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb. A fogalom különböző irányú általánosításai egyes tudományágakban is megjelennek. Így például a biológiában vektornak nevezik a fertőzéseket terjesztő élőlényeket, hatásokat. Az analógia teljesen világos, a hordozótól a fertőzöttig vezető utat pont a köztesgazda jelenti, azaz két pontot egy meghatározott irányban köt össze.

A matematikában azonban sokkal elvontabb vektorokat is ismerünk. Ezek haszna sokszor a laikusok számára végképp nem nyilvánvaló, és ritkán ismertek, közismertek. Alkalmazásaik azonban széles körűek, különösen a modern tudományokban.

Általános leírás

A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.

Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.

Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.^[1]

A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.

Definíció

Lineáris algebra

Legyen ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ euklideszi geometriai tér. Ekkor a ${\displaystyle {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}}$ halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével ${\displaystyle {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}}$ felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.

Két pontpárt, ${\displaystyle (A,B)}$-t és ${\displaystyle (C,D)}$-t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan ${\displaystyle p}$ párhuzamos eltolás, hogy ${\displaystyle p(A)=C}$ és ${\displaystyle p(B)=D}$.

Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az ${\displaystyle {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}}$ felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.

Geometria

A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ két párhuzamos sík. Ha a távolságuk ${\displaystyle d\neq 0}$, akkor a tér bármely ${\displaystyle X}$ pontjához olyan módon rendel hozzá egy ${\displaystyle X'}$ pontot, hogy ${\displaystyle |XX'|=2d}$. Ezen túl az ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ pontok képe olyan, hogy ${\displaystyle XX'||YY'}$ és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.

Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az ${\displaystyle (X,X')}$ pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint.^[2] Az ${\displaystyle (X,X')}$ párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.

A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy ${\displaystyle O}$ pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja ${\displaystyle O}$, kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordináta-rendszer pontjait határozhatják meg.

Analízis

Legyen ${\displaystyle T}$ test,^[3] ${\displaystyle H}$ pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:

${\displaystyle +:H\times H\rightarrow H}$, amit általában összeadásnak nevezünk, és

${\displaystyle .:T\times H\rightarrow H}$, amit leggyakrabban skalárral való szorzás néven emlegetünk,

úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in T}$ és ${\displaystyle \forall x,y\in H}$ esetén

• ${\displaystyle \alpha .(\beta .x)=(\alpha \cdot \beta ).x}$
• ${\displaystyle (\alpha +\beta ).x=\alpha .x+\beta .x}$
• ${\displaystyle \alpha .(x+y)=\alpha .x+\alpha .y}$
• ${\displaystyle 1.x=x}$

teljesül, akkor ${\displaystyle H}$-t a ${\displaystyle T}$ test feletti vektortérnek nevezzük, ${\displaystyle H}$ elemeit pedig vektoroknak.

Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a ${\displaystyle T}$-ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a ${\displaystyle H\rightarrow T}$ függvények halmaza.

Vektorműveletek

A vektorműveletek értelmezése céljából érdemes a szemléletes és áttekinthető geometriai képből kiindulni. Ekkor a vektorokat irányított szakaszként, nyíllal ábrázoljuk, és így a jelentésük is a köznapi fogalmakkal megragadhatóvá válik. Ezeken keresztül néhány egyéb fogalom is világossá válik.

Összeadás

Miután a szabadvektorokat a reprezentánsaikkal is jellemezhetjük, két szabadvektor összegét is így tudjuk értelmezni. Az ${\displaystyle {\vec {a}}}$ és ${\displaystyle {\vec {b}}}$ vektorok összegzését egy köztes pont felvételével tudjuk meghatározni. Vegyünk fel egy ${\displaystyle B}$ pontot, és tekintsük az ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vektor azon reprezentánsát, aminek végpontja ${\displaystyle B}$, és a ${\displaystyle {\vec {b}}}$ vektor azon reprezentánsát, aminek kezdőpontja ${\displaystyle B}$. Ekkor a ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}$ vektor egy reprezentánsát az ${\displaystyle {\vec {a}}}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Vektor
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.