A matematikában egy nullától különböző szám reciprokának vagy multiplikatív inverzének azt a számot nevezik, amivel a számot szorozva az eredmény 1. A reciprok fogalma értelmezhető a racionális, a valós és a komplex számok körében egyaránt. A reciprok szó latin eredetű, és kölcsönösségre utal, és inkább ezekben a számkörökben használják. A számkörökön túl általában inkább inverznek szokták hívni.

Ha a számot x jelöli, akkor a reciproka 1/x, azaz 1 osztva x-szel, vagy másképp x⁻¹, azaz x a mínusz egyedik hatványon. Egy szám reciprokának reciprokát véve visszakapjuk az eredeti számot. Tört formában felírt racionális szám esetében a számláló és a nevező felcserélésével egyszerűen megkapható a reciprok.

A reciprok, mint függvény az egyik legegyszerűbb példa egy olyan függvényre, melynek ismétlése az eredeti helyet adja vissza, így önmaga inverze. Az ilyen függvényeket involúciónak szokták nevezni.

A reciprok elnevezést az Elemek egy 1570-es fordítása használta, de inkább az Encyclopædia Britannica harmadik kiadása (1797) hozta divatba. Az Elemek inkább geometriai mennyiségekre vonatkoztatta.^[1]

A fogalom kiterjeszthető más struktúrákra is, ahol a szorzás nem feltétlenül kommutatív, és nem feltétlenül asszociatív. Ekkor nem feltétlenül teljesül, hogy ab ≠ ba, így lehet beszélni jobb és bal inverzről. Az asszociativitás biztosítja a két inverz egyenlőségét.

Függvények esetén f ⁻¹ gyakran az inverz függvényre utal, és nem a függvény inverzére. Például a szinuszfüggvény inverz függvénye az árkusz szinusz, a függvény inverze a koszekáns. Csak lineáris leképezések esetén van szó ugyanarról a függvényről. A reciprok és az inverz szavak különbözősége sem segít megkülönböztetni a kettőt, mivel különböző szerzők és nyelvek máshogy használják.

Speciális számok

A nullának semmilyen számkörben sem értelmezhető véges reciproka, ugyanis bármely számot nullával szorozva az eredmény nulla lesz. Ezért nincs olyan szám, amit nullával szorozva egyet kapnánk. A nullaszor végtelen szorzás eredménye nem egyértelmű.

A reciprok fogalmához hasonló az additív inverz, az ellentett. A valós számok körében az ellentett és az inverz mindig különböző számok. A komplex számok halmazában azonban vannak olyan számok, amiknek megegyezik az ellentettjük, és a reciprokuk: ezek éppen a képzetes egységek, a ±i.

Néhány irracionális szám reciprokának fontos speciális tulajdonságai vannak. Ide tartozik az Euler-féle szám reciproka (≈ 0,367879) és az aranymetszés reciproka (≈ 0,618034). Az ${\displaystyle f(1/e)}$ szám különlegessége, hogy az ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ függvény globális minimuma. Az aranymetszés reciproka eggyel kisebb, mint az aranymetszés: ${\displaystyle \varphi =1/\varphi +1}$, és az egyetlen ilyen pozitív szám. Hasonló teljesül az ellentettjére, csak ellenkező előjellel: ${\displaystyle -\varphi =-1/\varphi -1}$.

Az ${\displaystyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ függvény végtelen sok irracionális számot ad, melyek egész számmal térnek el reciprokuktól. Például ${\displaystyle f(2)}$ esetén ${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$ adóik, melynek reciproka ${\displaystyle 1/(2+{\sqrt {5}})=-2+{\sqrt {5}}}$, ami néggyel kevesebb. Ez azt is jelenti, hogy törtrészük megegyezik reciprokuk törtrészével.

Példák

A nullától különböző valós és komplex számoknak van reciproka. Racionális számok reciproka racionális, valósaké valós, komplexeké komplex. Általában, a testek olyan struktúrák, melyekben minden nullelemtől különböző elemnek van multiplikatív inverze. Belátható, hogy ez gyűrűk esetén a másik irányba is teljesül; azaz, ha a nullelemen kívül minden elemnek van multiplikatív inverze, akkor a gyűrű test. Ha pedig algebra, akkor test fölötti algebra. Az egész számok nem alkotnak testet; csak az 1 és a -1 inverze egész.

A moduláris aritmetikában is definiálható multiplikatív inverz: az a szám által reprezentált maradékosztály multiplikatív inverze az a maradékosztály, melynek van olyan x eleme, hogy ax ≡ 1 (mod n). Ez az inverz akkor létezik, ha a és n relatív prímek. Például a 3-nak multiplikatív inverze 4 modulo 11, mivel 4 · 3 ≡ 1 (mod 11). A kiterjesztett euklideszi algoritmussal ki is számítható.

A szedeniók olyan algebrai struktúrát alkotnak, ahol vannak nullosztók, de minden nullától különböző elemnek van inverze.

Egy gyűrű fölötti négyzetes mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa is. Ha a mátrixokat lineáris transzformációknak tekintjük egy adott bázisban, akkor az inverz mátrix az inverz lineáris transzformációt írja le ugyanabban a bázisban. Egy általánosabb függvény esetén azonban a két eset különböző eredményt ad, melyeket szigorúan meg kell különböztetni.

A trigonometrikus függvények párokba állíthatók. A szinusz reciproka a koszekáns, a koszinusz reciproka a szekáns, a tangens reciproka a kotangens, és megfordítva.

Komplex számok

Ha z = a + bi nullától különböző komplex szám, akkor inverze kiszámítható a következőképpen:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

A levezetéshez 1/z-t bővítettük az ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ komplex konjugálttal, és felhasználtuk, hogy ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$ az a² + b² valós szám.

Innen kiszámítható, hogy, ha ||z||=1, akkor ${\displaystyle 1/z={\bar {z}}}$, azaz egységnyi abszolútértékű komplex szám inverze megegyezik a konjugáltjával.

Ha z = r(cos φ + i sin φ) poláris alakban megadott komplex szám, akkor a szög az ellentettjére, és az abszolútérték a reciprokára változik:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}$

Negatív kitevős hatványok

A permanenciaelv szerint a negatív kitevős hatványok a pozitív hatvány reciprokaiként értelmezhetők, ugyanis így lehet megőrizni a hatványozás azonosságait. Így

${\displaystyle a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}\,}$

mivel

${\displaystyle a^{b}\cdot c^{b}={(a\cdot c)}^{b}\,}$

${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}}$

${\displaystyle a^{b-c}={a^{b} \over a^{c}}\,}$

${\displaystyle a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}=\left(a^{c}\right)^{b}\,}$

${\displaystyle a^{\left(b^{c}\right)}\neq \left(a^{b}\right)^{c}\,}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{c}={a^{c} \over b^{c}}\,}$

és

${\displaystyle (x^i{x}^j)x^k=x^i(x^j{x}^k}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Reciprok
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---