A fizikában, különösen a kvantummechanikában a kvantumállapot bármely állapot, amiben egy kvantummechanikai rendszer lehet. Egy teljesen meghatározott kvantumállapot állapotvektorral, hullámfüggvénnyel vagy kvantumszámok teljes készletével adható meg. Egy részlegesen ismert kvantumállapot, néhány rögzített kvantumszámmal, egy sűrűségfüggvény segítségével ábrázolható.

Állapottér

A Hilbert-tér

Egy kvantummechanikai rendszer matematikai modellje rendszerint egy, a komplex számtest felett értelmezett ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ szeparábilis Hilbert-téren alapszik. Paul Dirac nyomán a Hilbert-tér elemeire (a kvantumállapotokra) az ún. braket-jelöléssel hivatkoznak: ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$ jelöli a Hilbert-tér egy elemét. A Hilbert-tér vektortér, azaz értelmezve van rajta ${\displaystyle \ +:{\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}},\quad (|\psi \rangle ,|\phi \rangle )\rightarrow |\psi \rangle +|\phi \rangle }$ leképezés (összeadás) és ${\displaystyle \ \cdot :\mathbb {C} \times {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}},\quad (\lambda ,|\psi \rangle )\rightarrow \lambda |\psi \rangle }$ leképezés (számmal való szorzás) az alábbi tulajdonságokkal: tetszőleges ${\displaystyle |\phi \rangle ,|\psi \rangle ,|\zeta \rangle \in {\mathcal {H}}}$ és ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$ esetén

az összeadás asszociatív:

${\displaystyle (|\phi \rangle +|\psi \rangle )+|\zeta \rangle =|\phi \rangle +(|\psi \rangle +|\zeta \rangle ),}$

az összeadás kommutatív:

${\displaystyle |\psi \rangle +|\phi \rangle =|\phi \rangle +|\psi \rangle ,}$

létezik az összeadásra nézve neutrális ${\displaystyle |0\rangle }$ elem,^[1] melyre

${\displaystyle |\psi \rangle +|0\rangle =|\psi \rangle ,}$

tetszőleges elemnek létezik ${\displaystyle -|\psi \rangle }$ inverze az összeadásra nézve, azaz

${\displaystyle |\psi \rangle +(-|\psi \rangle )=|0\rangle ,}$

a szorzás asszociatív, azaz

${\displaystyle \lambda (\mu |\psi \rangle )=(\lambda \mu )|\psi \rangle ,}$

a szorzás a számok körében végzett összeadásra nézve disztributív, így

${\displaystyle (\lambda +\mu )|\psi \rangle =\lambda |\psi \rangle +\mu |\psi \rangle ,}$

a szorzás az állapotok között végzett összeadásra nézve disztributív, azaz

${\displaystyle \lambda (|\psi \rangle +|\phi \rangle )=\lambda |\psi \rangle +\lambda |\phi \rangle ,}$

az ${\displaystyle 1\in \mathbb {C} }$-vel végzett szorzás szabálya

${\displaystyle 1|\psi \rangle =|\psi \rangle .}$

A Hilbert-téren a

${\displaystyle \langle \ |\ \rangle :{\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {C} \quad (|\psi \rangle ,|\phi \rangle )\rightarrow \langle \psi |\phi \rangle }$

leképezés hermitikus skalárszorzatot definiál az alábbi tulajdonságokkal: minden ${\displaystyle |\eta \rangle ,|\phi \rangle ,|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$ és minden ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ esetén

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{*},}$

${\displaystyle \langle \lambda \psi |\phi \rangle =\lambda ^{*}\langle \psi |\phi \rangle ,}$

${\displaystyle \langle \eta +\phi |\psi \rangle =\langle \eta |\psi \rangle +\langle \phi |\psi \rangle ,}$

${\displaystyle 0\leq \langle \psi |\psi \rangle \quad 0=\langle \psi |\psi \rangle \Leftrightarrow |\psi \rangle =0,}$

ahol ${\displaystyle ^{*}}$ a komplex konjugálást jelöli.^[2] Mivel tetszőleges állapot önmagával vett skalárszorzata valós, nemnegatív szám,^[3] így a skalárszorzat segítségével ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-n norma definiálható: