A valószínűségszámításban az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f pontosan akkor, ha az X-nek az F-fel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t.}$

Szemben a valószínűségekkel, a sűrűségfüggvények felvehetnek 1-nél nagyobb értéket is. A valószínűségi eloszlások sűrűségfüggvényeken alapuló konstrukciója szempontjából nem a sűrűségfüggvény által felvett érték a fontos, hanem az integrál.

A sűrűségfüggvény általánosítása az általánosított sűrűségfüggvény, ahol is a Lebesgue-mértékre vonatkozó sűrűségfüggvények a valószínűségi sűrűségfüggvények. A továbbiakban sűrűségfüggvényen valószínűségi sűrűségfüggvényt értünk, kivéve ha azt máshogy jelezzük.

Diszkrét esetben az események valószínűsége megkapható a tartalmazott elemi események valószínűségeinek összegzésével. Folytonos esetben azonban ez nem tehető meg, mivel a nullaszor végtelen értéke bármi lehet. Például két ember csak ritkán pont egyforma magas, eltér egymástól egy hajszállal vagy csak néhány atomnyival. A sűrűségfüggvénnyel tetszőleges intervallum valószínűsége meghatározható, így a nullaszor végtelen probléma megkerülhető.

Definíció

A sűrűségfüggvény definiálható valószínűségeloszlás alapján, vagy pedig a valószínűségeloszlást lehet levezetni a sűrűségfüggvényből.

Az önálló definícióban szerepel az ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ tulajdonság, a nemnegativitás, az integrálhatóság és a normáltság, azaz a teljes ${\displaystyle \mathbb {R} }$-en vett integrál egy. Ekkor definiálható hozzá

${\displaystyle P():=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ valószínűségeloszlás.

Megfordítva, levezethető valószínűségi mértékből. Ekkor, ha az ${\displaystyle f}$ függvényre minden ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ esetén

${\displaystyle P((-\infty ,a)=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$

illetve

${\displaystyle P(X\leq a)=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$

akkor ${\displaystyle f}$ sűrűségfüggvény.

Tulajdonságai

Létezés

• Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
• Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
• Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek sűrűségfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.

Általános tulajdonságok

• A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,dt=1}$

bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.

• A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén

${\displaystyle \mathbf {P} (X\in A)=\int \limits _{A}f(t)\,dt.}$

• Speciálisan

${\displaystyle \mathbf {P} (a\leq X<b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt.}$

a két definíció egyenértékű.

Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyel

Ha az ${\displaystyle F}$ eloszlásfüggvény folytonos, és legfeljebb megszámlálható végtelen pontban nem differenciálható, akkor van sűrűségfüggvénye, és:

${\displaystyle F^{\prime }(x)={\frac {\mathrm {d} F(x)}{\mathrm {d} x}}=f(x)}$

Más jelöléssel, F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.

Vannak olyan eloszlások, mint a Cantor-eloszlás, amelyek eloszlásfüggvénye folytonos, és majdnem mindenütt differenciálható, de nincs sűrűségfüggvényük. A folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye majdnem mindenütt differenciálható, de a derivált csak az abszolút folytonos részt foglalja magába.

Megfordítva, a sűrűségfüggvényből is kiszámítható az eloszlásfüggvény (abszolút folytonos) része:

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle F_{P}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{P}(t)\,\mathrm {d} t}$

ami azonnal következik a definícióból.

Sűrűségfüggvény részintervallumon

Ha egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó csak egy ${\displaystyle I}$ részintervallumból vesz fel elemeket, akkor a sűrűségfüggvény választható úgy, hogy az ${\displaystyle I}$ intervallumon kívül a 0 értéket veszi fel. Erre példa az exponenciális eloszlás, ahol ${\displaystyle I=0}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Sűrűségfüggvény
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.