Harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük a két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást. Szemléletesen, ha egy rugóhoz rögzített testet kitérítünk nyugalmi helyzetéből és magára hagyjuk, a test két a szélső helyzet között periodikusan ismétlődő mozgást végez majd. (Itt a testet pontszerűnek tekintjük, és csak kis mértékben térítjük ki nyugalmi helyzetéből, így nem okozunk maradandó alakváltozást a rugóban. A mozgás leírása során a külső erők hatását (pl. közegellenállás) elhanyagoljuk.)

Vannak nemharmonikus rezgőmozgások is, ezek közül legfontosabbak a csillapított rezgések.

A mozgás jellemzése

• A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. Jele: A, mértékegysége: m (méter).
• A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s (másodperc).
• A rezgésszám a t idő alatt megtett rezgések száma, jele: N, mértékegység nélküli mennyiség.
• A rezgés frekvenciája az időegység alatt megtett rezgések száma. Jele: f vagy ${\displaystyle \nu }$, mértékegysége: ${\displaystyle {\frac {1}{s}}=Hz}$ (hertz). ${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {N}{t}}}$
• A körfrekvencia jele: ${\displaystyle \omega }$, mértékegysége: rad/s (nem összetévesztendő a rezgés frekvenciával, melynek mértékegysége 1/s = Hz). ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}$
• A kezdőfázis jele: ${\displaystyle \phi _{0}}$, mértékegység nélküli mennyiség.

Kinematikai leírás

Kitérés-idő függvény: ${\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})}$
Sebesség-idő függvény: ${\displaystyle v(t)=A\omega \cdot \cos(\omega t+\varphi _{0})}$
Gyorsulás-idő függvény: ${\displaystyle a(t)=-A\omega ^{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x}$

A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.

A sebesség maximuma a sebességamplitúdó: ${\displaystyle v_{max}=A\omega }$
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó: ${\displaystyle a_{max}=-A\omega ^{2}}$

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata

Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.

Dinamikai leírás

A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre: ${\displaystyle F=-Dx}$, ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete: ${\displaystyle m{\ddot {x}}=-Dx}$.

A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz- és a koszinuszfüggvény.

Az egyenlet megoldása: ${\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )}$, ahol a körfrekvencia ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}}$, a periódusidő ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}}$.

Harmonikus oszcillátor energiája

Egy harmonikus oszcillátornak, attól függően, hogy pályája melyik pontjában található lehet csak helyzeti (potenciális) energiája (maximális kitérés esetén), csak mozgási energiája (egyensúlyi ponton való áthaladáskor), vagy egyszerre mindkettő.

${\displaystyle E=E_{c}+E_{p}}$, ahol a két energiát ki lehet fejteni, mint

${\displaystyle E_{p}={\frac {Dx^{2}}{2}}={\frac {kA^{2}sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}$

és

${\displaystyle E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}$

Tudva, hogy ${\displaystyle \omega _{0}}$ körfrekvenciára érvényes az ${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}}$ összefüggés, az előző egyenlet egyszerűbb alakra hozható. Vagyis,

${\displaystyle E={\frac {kA^{2}(cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})+sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0}))}{2}}={\frac {kA^{2}}{2}}}$.

A végeredmény értelmezhető a körfrekvenciával is, ekkor az előző kifejezés a következőképp módosul:

${\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}}$,

ami átírható az

${\displaystyle E=\frac{m{v}^2}{2}}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Harmonikus_rezgőmozgás
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.