A Gauss-törvény lényegében az elektrosztatika törvényeinek integrális alakú megfogalmazása, mely az E(x) elektromos térerősség és az elektromos töltéssűrűség között teremt kapcsolatot.

Tekintsünk egy zárt felület belsejében lévő q ponttöltést! Legyen r a töltés és a felület egyik pontjának távolsága, n a felületnek ebből a pontból kifelé mutató normálisa, dF pedig a tetszőlegesen kicsi felületelem. A q töltés által az adott pontban keltett E elektromos térerősség a felület normálisával Θ szöget zár be. Ekkor fennáll, hogy

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {cos\Theta }{r^{2}}}dF.}$

Az E térerősség vektor a felületelemet a q ponttöltéssel összekötő egyenes irányába mutat, ezért

${\displaystyle \mathbf {c} os\Theta dF=r^{2}d\Omega ,}$

ahol dΩ a felületelem által átfogott térszögtartomány a töltés pontjából nézve. Ezt visszahelyettesítve az első képletbe, azt kapjuk, hogy

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}d\Omega }$

Ha E normális komponensét integráljuk a teljes felületre (és bevezetjük a felületvektort), akkor az egyetlen ponttöltésre vonatkozó Gauss-törvényt (a Maxwell-egyenletek egyikét) kapjuk:

${\displaystyle \oint _{F}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {F} ={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$, ha q az S tartományon belül van. (Ha q az S tartományon kívülre esik, a bezárt töltés zérus (q=0), azaz ${\displaystyle \oint _{F}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {F} =0}$.)

Több töltésből álló diszkrét töltésrendszerre

${\displaystyle \oint _{F}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {F} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{i}{q_{i}}.}$

Az egyenletben szereplő i index az F felületen belül található töltéseken fut végig.

Folytonos ρ(x) töltéssűrűség esetén a Gauss-törvény

${\displaystyle \oint _{F}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {F} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )dV}$

alakú lesz. Itt V az F felület által határolt zárt tartomány térfogata, azaz F a határfelülete V-nek.

A fenti integrális alakban felírt Gauss-tételt a Gauss-Osztrogradszkij-tétel segítségével differenciális alakban is felírhatjuk:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

Differenciális alakban az elektrosztatikai feladatok közvetlenül megoldhatók.

Források

• Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004)
• Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974)