A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
A dimenzió a latin „kimér” (dimētior) igéből ered, szokásos magyar fordításai: méret, kiterjedés. A szaktudományokban, mint a matematika és fizika, többféle, különböző értelemben használják (lásd lejjebb). A legtöbb dimenziófogalom szemléletes tartalma az, hogy egy pont vagy esemény megadásához hány független adatra van szükség.
A szó leghétköznapibb használatában a dimenzió a fizikai tér, a testek különféle méreteinek, nagyságfajtáinak (szélesség, hosszúság, magasság) összefoglaló neve. Ezenkívül a tudományos-fantasztikus irodalomban a „dimenzió” utalhat egy alternatív univerzumra, ez a cikk azonban ezzel nem foglalkozik.
A fizikai tér dimenziója
A téridő, amelyben élünk, négydimenziósnak tűnik. Erre legcélszerűbb háromdimenziósként tekinteni, a negyedik pedig az idő. A tér egy bizonyos pontjából fel/le, balra/jobbra, és előre/hátra vagyunk képesek elmozdulni. Bármely más irányba történő elmozdulás felfogható ezen elmozdulások együttesének (lineáris kombinációjának).
Az időt egy negyedik dimenziónak lehet tekinteni. Kicsit eltér a másik háromtól, mivel csupán egy létezik belőle, valamint látszólag csak egy irányban lehet benne haladni. A szemünkkel érzékelhető nagyságrendű fizikai folyamatok nem szimmetrikusak az időre nézve. A szubatomikus Planck-skála szintjén azonban majdnem az összes fizikai folyamat időszimmetrikus (azaz az egyenletek, melyek leírják ezeket a folyamatokat, nem függenek az idő irányától), ez azonban nem jelenti azt, hogy a szubatomikus részecskék képesek az időben visszafelé haladni.
A húrelmélet és más hasonló nézetek azt állítják, hogy a térnek, melyben élünk, valójában sokkal több dimenziója létezik (a legtöbben 10, 11 vagy 26 dimenziót tételeznek fel), de az univerzum kiterjedése a plusz dimenziókban szubatomikus méretű.
A fizikai mértékegység dimenziója
A fizikában egy mértékegység vagy egy ún. alapvető mértékegység – amelyet etalonnal és mérési módszerrel definiálunk – vagy összetett mértékegység, amelyik előállítható az alapvető mértékegységek valamilyen – pozitív vagy negatív – hatványának szorzataként. A mértékegységhez tartozó ilyen hatványok összességét nevezzük a mennyiség dimenziójának. Az elnevezés az N dimenziós térhez való olyan hasonlatosságból származik, miszerint minden egyes alapvető mértékegységet képzelhetünk egy-egy iránynak a térben, amelyek „koordináta-rendszerében” a hatványoknak a konkrét összetett fizikai mennyiséghez tartozó halmaza – „vektora” – adja meg a mértékegység helyét a mértékegységtérben. Az analógia annyiban pontatlan, hogy minden lehetséges helyzetet – halmazt, „vektort” – nevezünk egy-egy dimenziónak, míg pontos analógia esetén az alapegységek számát kellene annak tekintenünk.
Bármely fizikai mennyiség dimenziója kiszámítható a hét alapmennyiség dimenziójából:[1] [* 1]
Dimenzióanalízis
A dimenzióanalízis célja a változók olyan csoportosítása, hogy a változók számánál kevesebb csoport közötti összefüggések felderítésével kaphassunk képet a jelenségről. Alapja, hogy a meghatározó paraméterekre/változókra felállított összefüggés a paraméterek dimenzióira nézve is helytálló, s a dimenziók segítségével a vizsgált jelenséget leíró függvényben szereplő paraméterek hatványkitevői meghatározhatók. A dimenzióanalízis egy hipotézisen a megoldás dimenzió-homogenitásának feltételezésén alapul. Mivel a dimenzióanalízis egy hipotézisen alapul, vagyis egy feltevés, így nem szükségszerűen igaz, hiszen ha a vizsgálatban nem veszünk figyelembe minden olyan tényezőt, amely a jelenséget befolyásolja, a megoldás nem lesz homogén. A dimenzióanalízisnek, mint módszernek az előnye tehát, hogy egy matematikai összefüggés felállítása több változó esetében is egyszerűen végrehajtható, de hátránya, hogy félempirikus egyenletet kapunk, tehát néhány gyakorlati mérést elkerülhetetlenné tesz, valamint a meghatározó paraméterek kiválasztása nagy körültekintést igényel.
A matematikában
A matematikában rengeteg „dimenzió”-nak nevezett fogalmat ismerünk, az egyes területekre különbözőképpen definiálták a dimenzió fogalmát. Legtöbbnek mégis az n dimenziós euklideszi tér (En) dimenziófogalma szolgál alapul. A pont (E0) 0 dimenziós. Az egyenes (E1) 1 dimenziós. A sík (E2) 2 dimenziós. Általában pedig az En n dimenziós.
A hiperkocka (tesseract) a négydimenziós test példája.
A cikk további része sorra veszi a dimenzió fontosabb matematikai definícióit.
Hamel-dimenzió
A vektorterekben a dimenzió kézenfekvően megfogalmazható a bázis számosságaként: ez a Hamel-dimenzió. Mivel minden vektor egyértelműen felírható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, ez lényegében azt adja meg, hány koordinátára van szükség, hogy egy pont helyzetét „természetes módon” jellemezhessük. Például a geometriai tér három, a sík kétdimenziós. Az egyenes egy-, a pont nulla-, és az üres halmaz (-1)-dimenziós.
Azok a vektortereknek is tulajdonítható dimenzió, amiknek nincs véges bázisa. Ezek dimenziója megegyezik a minimális generátorrendszer számosságával, ami egy nem véges kardinális szám. Georg Hamel látta be elsőként a Zorn-lemmával, hogy ekkor is létezik bázis; ezért nevezik ezt a dimenziófogalmat Hamel-dimenziónak.
Topológiai dimenziófogalmak
Egy hasonló dimenziófogalom a Schauder-dimenzió, ami a topologikus vektorterek bázisának számosságát jelöli. Egy vektortér topologikus, ha el van látva egy topológiával, ami szerint az összeadás és a skalárral szorzás folytonos.
Egy összefüggő sokaság dimenziója is könnyen definiálható. A sokaságban minden pontnak van környezete, ami homeomorf az n dimenziós euklideszi térrel. Ez az n a sokaság dimenziója. Kétdimenziós sokaságokra példa a Möbius-szalag és a gömbfelület.
Lánchosszként definiált dimenzió
Egy vektortér dimenziója megegyezik a belőle kiinduló altértartalmazási lánc hosszával. Ez a dimenziófogalom más struktúrákra, így kommutatív gyűrűkre is általánosítható, amikor is egymást tartalmazó prímideálok maximális hosszú láncát kell venni.
A sokaságok dimenziója is definiálható lánchosszként. Például a földgolyó határa a földfelszín, aminek egy része egy ország területe. Ennek határa egy görbe, aminek ha egy szakaszát tekintjük, annak két pont a határa. Végigkövetve a láncot, megkapjuk, hogy a földgömb háromdimenziós.
Hausdorff-dimenzió
A Hausdorff-dimenzió vagy fraktáldimenzió minden metrikus térben értelmezve van, és nemcsak egész értékeket vehet fel. Elsősorban a bonyolult szerkezetű halmazoknál, például a fraktáloknál hasznos. Lényegében azt adja meg, hogy az átmérőnek és a térfogatnak a megfelelője az adott térben hogyan aránylik egymáshoz.
Általában elmondható, hogy egy d dimenziós alakzatot ha k-szorosára nagyítunk, akkor mértéke T(k)=kd-szeresére nő, tehát az alakzat dimenziója a T(k) k alappal felírt hatványának kitevője, vagyis logk(T(k)), melyre érvényes - tetszőleges egytől különböző pozitív valós alapú logaritmust (pl. a tízest) választva:
A Hausdorff-dimenzió is így számítható. Általában egy fraktál dimenziója nem lesz egész, sőt, nem is racionális, de vannak fraktálok, amelyeknek igen. Például a Sierpiński-szivacs dimenziója 2, pedig nem síkbeli, hanem térbeli alakzat.
Irodalom
- Gorelik: Miért háromdimenziós a tér?
- Vilenkin: A végtelen kutatása.
- Edwin A. Abbott: Síkföld (a dimenziófogalom irodalmi feldolgozása)
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Dimension (Mathematik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Kapcsolódó szócikkek
Megjegyzések
- ↑ Két mennyiség jele is I betű. Ezért az áramerősség dimenziója I lett, a fényerősségé pedig J betű
Források
- Extra dimenziók
- Utazás a 248. dimenzióba: az E8 és más kivételes Lie-csoportbeli objektumok (SG.hu, 2007. március 20.)
Jegyzetek
- ↑ NIST Guide to the SI, Chapter 7. NIST. . (Hozzáférés: 2016. november 30.) 7.14 Dimension of a quantity
- ↑ Mivel a logaritmusalap tetszőleges egytől különböző pozitív valós szám lehet, nem mindig szokás feltüntetni a képletben.
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.
Analóg multiméterek túlterhelés elleni védelme
Egyenáram
Egyenáram mérése
Egyenirányítós lengőtekercses műszer
Elektromágnes (fizika)
Elektromos feszültség
Elektromos térerősség
Fáziseltolódás
Fázismutató
Fajlagos ellenállás
Feszültséggenerátor
Feszültségváltó
Forgó mágneses tér
Háromfázisú hálózat
Hőelektromosság
Hatásos ellenállás
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.