A számelméletben általában σ(n)-nel jelölt osztóösszeg-függvény avagy szigmafüggvény^[1] a természetes számok halmazán értelmezett számelméleti függvény, melynek értéke az argumentum osztóinak összege (az 1-et és magát a független változóként vett számot is beleértve). Képlete tehát

${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ;\ \sigma (n)\ :=\ \sum _{\begin{matrix}{d|n}\\{1\leq d\leq n}\end{matrix}}d}$.^[2]

Például σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28; különleges (elfajult) esetekként σ(0) = 0; σ(1) = 1.^[3] További példákat lásd lentebb.

Az osztóösszeg-, latinul summis divisorum-függvény, ∫ n-nel jelölve, már Leonhard Euler egy 1750–60-as évek-as években írt dolgozatában is szerepelt, a rá vonatkozó kanonikus képlettel együtt.^[4]

Értékei kis számokra

Tulajdonságok

Algebrai-számelméleti tulajdonságok

Értékei prímhatványokra

Ha α>0 természetes szám és p∈N prímszám, akkor

${\displaystyle \sigma (p^{\alpha })\ =\ {\frac {p^{\alpha +1}-1}{p-1}}}$.

Ennek speciális eseteként

${\displaystyle \sigma (p)\ =\ {\frac {p^{2}-1}{p-1}}\ =\ p+1}$.

A második egyenlőség a prímszám definíciójának is egyszerű következménye, hiszen egy p prímnek pontosan két osztója van: 1 és p, ezek összege p+1. Az első egyenlőség a számelmélet alaptételéből következik, ugyanis p^α osztói pontosan a p^β alakú számok, ahol 0≤β≤α és β∈N; tehát az osztók rendre 1, p, p², …, p^α, egy α+1 tagú, 1 kezdőelemű és p hányadosú mértani sorozat elemei, melynek összegképlete pont a fent írt egyenlőséget adja.

Kanonikus kiszámítási mód

A multiplikativitást és az előző tulajdonságot felhasználva, az argumentum kanonikus alakja ismeretében a szigmafüggvényt kiszámító képlet adható. Eszerint ha az n>1 természetes szám prímtényezőkre bontása (kanonikus alakja)

${\displaystyle n\ =\ p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{g}^{\alpha _{g}}\ =\ \prod _{i=1}^{g}p_{i}^{\alpha _{i}}}$ (α₁, …, α_g, g ∈N⁺ és p₁, …, p_g prímszámok);

akkor érvényes:

${\displaystyle \sigma (n)=\left(p_{1}^{0}+p_{1}^{1}+...p_{1}^{\alpha _{1}}\right)\left(p_{2}^{0}+p_{2}^{1}+...p_{2}^{\alpha _{2}}\right)...\left(p_{g}^{0}+p_{g}^{1}+...p_{g}^{\alpha _{g}}\right)=}$

${\displaystyle =\underset{i=1}{\overset{g}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\underset{j=0}{\overset{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}_{}^{}}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Osztóösszeg-függvény
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---