A szilárdtestfizikában fononoknak nevezzük a szilárdtesteket felépítő atomok kollektív rezgéseit leíró kvázirészecskéket. Ezeket rugalmas közegek (egyes szilárd testek és folyadékok) rezgési módusainak kvantummechanikai jellemzésére alkalmazzák.

Ha a szilárdtestben az atomokat helyhez rögzítettként képzelnénk el és a termikus jellemzőket pusztán az elektronok mozgásából származtatnánk, helytelen eredményre jutnánk például a fajhő, a hővezetés, a hőtágulás, a fázisátalakulások és egyéb termikus jelenségek magyarázatánál. A fononok fotonokkal való kölcsönhatása is értelmezhető, mely a fény-anyag kölcsönhatások értelmezéséhez ad támpontot. Mindezek miatt a fononok szerepe igen fontos a szilárdtestfizikai elméletekben.

Rácsrezgések szilárdtestekben

A kristályrácsban az atomok az egyensúlyi helyük körül kis mozgást végeznek, ez a szilárdtest termikus gerjesztéseinek következménye. A szilárdtestek fizikai jellemzőinek magyarázatához ezeket a mozgásokat is figyelembe kell venni.

A fononok meghatározásához el kell tekinteni a kristály atomjainak diffúziójától, azaz a feltételezés szerint az atomok csak egyensúlyi helyük körül mozoghatnak. Ez a közelítés jó, ha a szilárdtestet jóval az olvadáspontja alatti hőmérséklet jellemzi. További egyszerűsítő feltételezés, hogy az atomoknak a rácspontok körüli mozgását sorba fejtve csak a másodrendű tagokat tartjuk meg, ezt nevezzük harmonikus közelítésnek.^[1] Mivel az atomok egyensúlyi helye körül ható potenciál egyszerű rugókéra hasonlít, ezért ez szemléletesen olyan esetnek felel meg, amikor az atomok helyett tömegpontokat, a kölcsönhatások helyett rugókat képzelünk el. A fenti közelítésekkel már igen jó leírást adhatunk a szilárdtest fajhőjéről, hőtágulásáról és egyéb termikus jelenségeiről.

A rácsrezgések általános leírása összetett, viszont van néhány alapeset, mely matematikailag egyszerűbben megfogalmazható, így megkönnyíti a fononok jellemzőinek szemléltetését. Érdemes tárgyalni az egyatomos és kétatomos lánc esetén lehetséges fononokat, ugyanis ezeken bemutatható a diszperziós relációk jelentősége illetve az akusztikus és optikai fononok alapvető jellemzői.

Egydimenziós lánc rezgései

Az egyik legegyszerűbb, de szemléletes eset, amikor azonos atomok egydimenziós láncának rezgéseit tekintjük. Az atomok egy egyenes mentén helyezkednek el, kitérésük is ugyanezen egyenes mentén lehetséges. Az azonos ${\displaystyle M}$ tömegű atomok ${\displaystyle a}$ távolsága az egyensúlyi helyzetben legyen egyenlő, az atomokra ható potenciál pedig olyan, mintha a szomszédos atomok kis rugókkal lennének összekötve (azaz harmonikus közelítést alkalmazunk, a potenciálban csak a másodrendű tagokat vesszük figyelembe). Az n-edik atom egyensúlyi helye ${\displaystyle n\cdot a}$, kitérése ${\displaystyle u_{n}}$. Felhasználjuk továbbá, hogy a kölcsönhatás térben gyorsan csökken, azaz csak elsőszomszéd-kölcsönhatást feltételezünk (a fenti rugós példában ez azt jelenti, hogy csak szomszédos atomok között van rugó, távolabbiak között nincs). A harmonikus közelítéssel a potenciál kifejezése:

${\displaystyle U_{n,n\pm 1}={\frac {1}{4}}\sum _{nn'}{\tilde {\Phi }}\left(n,n\pm 1\right)\left^{2}}$,

ahol ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}(n,n\pm 1)}$ az elsőszomszéd-párkölcsönhatások együtthatói. Ha bevezetjük az atomok között elképzelt rugók ${\displaystyle K={\tilde {\Phi }}(n,n\pm 1)}$ erőállandóját, akkor egyszerű alakban kapjuk meg egy atom körüli potenciált:

${\displaystyle U_{harm}={\frac {1}{2}}K\sum \left}$.

Ez a kifejezés valóban hasonlóságot mutat a rugó végére helyezett tömegpont klasszikus potenciáljával.

Az erő általánosan a potenciál negatív gradiense, ami jelen esetben az n-edik atom kitérése szerinti parciális deriválást jelent:

${\displaystyle M{\ddot {u}}_{n}=-{\frac {\partial U_{n}}{\partial u_{n}}}=-K\left}$.

A mozgásegyenlet megoldásához határfeltétel kell, ami célszerűen lehet például Born–Kármán-féle periodikus határfeltétel: az egyatomos, végtelen láncot N atomból álló gyűrűként képzeljük el. Ennek következménye, hogy az ${\displaystyle N+1}$-edik atom megegyezik az elsővel, ahogy a kitérésük is: ${\displaystyle u_{N+1}=u_{1}}$. Azt várjuk, hogy a morgásegyenlet megoldásai haladó hullámokat adnak, így a megoldást legegyszerűbben úgy kaphatjuk meg, ha Fourier-sor alakban írjuk fel a

${\displaystyle u_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{q}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }u(q,\omega )e^{i(qua-\omega t)}d\omega }$

kifejtéssel, ami diszkrét ${\displaystyle x}$ helyváltozó helyett diszkrét ${\displaystyle q}$ hullámszámra, folytonos ${\displaystyle t}$ időváltozó helyett folytonos ${\displaystyle \omega }$ frekvenciára^{[m 1]} való áttérést jelent. Ezzel a mozgásegyenlet (ha a kitevőkből elhagyjuk a fázistagot):

${\displaystyle M\omega ^{2}u(q,\omega )=-K\leftu(q,\omega )=-2K\leftu(q,\omega )}$.

A ${\displaystyle q}$ hullámszámú rezgéshez tartozó körfrekvencia ebből meghatározható:

${\displaystyle \omega (q)={\sqrt {\frac {2K(1-\cos {qa})}{M}}}=2{\sqrt {\frac {K}{M}}}\cdot \left|\sin {\frac {qa}{2}}\right|}$.

A fenti összefüggés, mely a frekvencia hullámszámfüggését adja meg, a szilárdtestfizikában gyakran alkalmazott diszperziós relációk egyatomos láncon terjedő fononra vonatkozó példája. Megjegyzendő, hogy az összefüggés ${\displaystyle q}$-ban periodikus, hiszen egy adott ${\displaystyle q}$-ra és ${\displaystyle \pm j{\frac {2\pi }{Na}}}$-val eltoltjára azonos értéket ad:

${\displaystyle \omega (q)=\omega \left(q+j{\frac {2\pi }{Na}}\right),\qquad j=0,\pm 1,\pm 2,...}$

Emiatt a diszperziós relációt gyakran csak a perióduson belül ábrázolják, ami a hullámszámtérbeli reciprokrács elemi cellájának, azaz az első Brillouin-zónának felel meg.

A diszperziós reláció ismeretében megtudható, hogy mely hullámszámú hullámokra milyen csoportsebesség érvényes. A csoportsebesség (vagy egyes értelmezésekben a terjedési sebesség) ugyanis a diszperziós reláció meredeksége:

${\displaystyle c=\left|\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q}\right|=\sqrt{\frac{K}{M}}a\cos <!--\; \; -->\frac{}{}}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.