Az Euler-féle szám, más néven e szám irracionális. A jelen cikk erre az állításra ad három bizonyítást.

Joseph Fourier (1768–1830) francia matematikus bizonyítása az ellentmondáson alapul. Az e felírható numerikus sorok segítségével:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\!}$

Ez az e szám Taylor-sorba fejtése az exponenciális függvény szerint, ahol a kitevő =1. Feltételezzük, hogy e egy racionális szám, a/b formában. Ekkor létezik egy pozitív a és b, és így a e = a/b, ahol b > 1. Definiáljunk egy ${\displaystyle x}$ számot:

${\displaystyle x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}\!}$

Ha e racionális, akkor x egész szám, helyettesítsük be e = a/b –t ebbe a definícióba:

${\displaystyle x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.}$

Az első kifejezés egész, és a szumma minden tagja is egész szám, mert n ≤ b. Ezért x maga is egész szám. Most bebizonyítjuk, hogy 0 < x < 1. Először azt bizonyítjuk be, hogy x szigorúan pozitív: Behelyettesítjük a fenti sorba e kifejezést az x definíciójába:

${\displaystyle x=b!\,{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,,\!}$

mivel minden tényezőre igaz, hogy n ≤ b, mind kiesik, csak egy marad , mely pozitív. Most bebizonyítjuk, hogy x < 1. Minden tényezőnél, ahol n ≥ b + 1 kapjuk:

${\displaystyle {\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,.\!}$

Ez az egyenlőtlenség minden n ≥ b + 2.-re igaz. A szumma indexét kicserélve k = n – b, és a végtelen mértani sor képletét használva, kapjuk:

${\displaystyle x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.}$

Mivel nincs 0 és 1 között egész szám, kaptunk egy ellentmondást, és így az e-nek irracionálisnak kell lennie. Q.E.D.^[1]

Egy másik bizonyítás szerint:^[2] Az előzőekből kiindulva:

${\displaystyle (b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,}$

Ez az egyenlőtlenség ekvivalens azzal, hogy b.x < 1. Ez viszont lehetetlen, mert b' és x természetes számok.

A harmadik bizonyítás egy némileg általánosabb lemmán alapszik.

• Az integrál additív halmazfüggvény, vagyis diszjunkt szakaszokon integrálva és ezeket összegezve az egész szakaszon vett integrált kapjuk:

${\displaystyle \int _{I\cup J}f\operatorname {d} x=\int If\operatorname {d} x+\int Jf\operatorname {d} x,}$ I, J diszjunkt.

• A parciális integrál módszere:

${\displaystyle \int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx}$ f és g folytonosan differenciálható.

• Ha g és h valós polinomok, és tetszőleges valós a számra

${\displaystyle g(a)=e^{-a}h(a),}$

akkor g és h is azonosan nulla.

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {c^{n}}{n!}}=0}$ minden valós c számra.
• Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy ${\displaystyle \alpha ={\frac {v+\delta }{u}}.}$

Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak.

Lemma

A tétel bizonyításához szükség van erre a lemmára:

Lemma: Minden erősen approximálható valós szám irracionális.

Bizonyítás:

Tegyük fel indirekt, hogy α racionális, vagyis vannak p és q egészek, hogy :${\displaystyle \alpha ={\frac {p}{q}}={\frac {v+\delta }{u}}!}$

Ekkor ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2q}}}$-hoz is vannak δ, u, v számok. Behelyettesítve és átrendezve

${\displaystyle \frac{p}{q}-<!--\; -\; -->\frac{v}{u}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{u}}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/E_irracionálisságának_bizonyítása
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---