A koordináta-rendszer egy tér (például egy sík, egyenes, görbe, felület stb.) pontjait bizonyos alapelemekhez (bázisokhoz) viszonyítva egyértelműen meghatározó rendszer. Egy pont helyzetét a koordináta-rendszerben számokkal (koordinátákkal) adhatjuk meg. A koordináta-rendszereket feloszthatjuk dimenziószámuk (1, 2, 3, …, n dimenziós) és a méretek jellege szerint:

• Affin (pl. Descartes-féle, carthesianus): a koordináták hosszúságok (távolságok) mérőszámai
• Poláris: a koordináták hosszúságok és szögek mérőszámai
• Görbe vonalú (pl. elliptikus, geodetikus): a koordináták egy önkényesen felvett hálózat skálázásából adódnak
• Homogén (pl. baricentikus, projektív): a koordináták nem abszolút méretek, hanem viszonyszámok (méretarányok)
• Egyéb, főként felületek pontjainak megadására szolgáló (pl. földrajzi és csillagászati koordináták)

Története

Főként a Descartes-féle derékszögű koordináták és a poláris koordináták használata terjedt el, de több más rendszert is alkalmaznak. Ezek tulajdonképpen a két alaprendszer variánsai, általánosításai vagy éppen speciális alkalmazásai. Mindkét rendszer eredete homályos. A Descartes-féle síkbeli koordináták kezdetben az ókori geográfus, Sztrabón térképein mint földrajzi hosszúság és szélesség jelentek meg. Ugyancsak régi, középkori térképeken, hajózási atlaszokon láthatók olyan vonalak, amelyek az ábrázolt tenger térségében megadják az egyes kikötőktől a többi kikötőhöz, vagy tájékozódási ponthoz vezető kurzust (távolság + irány). A legismertebb derékszögű koordinátákat René Descartes du Peron előtt is alkalmazták a matematikusok. Nevét a rendszer azért örökölte, mert korszakalkotó munkáját (Értekezés a módszerről, 1637) követően vált a koordinátageometria és a függvénytan elengedhetetlen eszközévé.

A földrajzi koordináták használatának hasznosságára már Sztrabón előtt Hipparkhosz és Klaudiosz Ptolemaiosz rámutatott. A derékszögű rendszert is használta Descartes-ot megelőzően Nicole d’Oresme (1320–1382) mozgások (mozgásegyenletek) ábrázolására. Bizonyos tekintetben Descartes eredményeit meghaladták kortársának, Pierre de Fermat-nak a vizsgálatai a kúpszeletek analitikus geometriája terén (Ad locus planos et solidos isagoge, 1679). A két alapváltozattól különböző rendszerek alkalmazásának is vannak előzményei. Apollóniosz az i. e. 200 körül megjelent Kónika (Kúpszeletek) című munkájában e síkgörbék pontjait két konjugált átmérőjükhöz viszonyítva vizsgálta, s ezzel (kimondatlanul) ferdeszögű koordináta-rendszert használt. A homogén rendszerek első változatát, a baricentrikus koordinátákat August Ferdinand Möbius (1790–1868) alkalmazta (Der baryzentrische Kalkül), s vele egy időben a Julius Plücker (1801–1868) a róla elnevezett rendszert a kúpszeletek és másodrendű felületek geometriájában (Theorie der algebraische Curven, 1839).

A koordináta szót a 18. században kezdték használni, és az ordináta szóból alkották meg.^[1]

Koordináták

Egy koordináta egy koordináta-rendszerben értelmezett szám. A hely pontos meghatározásához annyi koordináta kell, ahány dimenziós térben van. A Descartes-koordináta-rendszerben kevesebb koordináta megadásával a tér egy tengelypárhuzamos alteréhez jutunk. Kétdimenziós koordináta-rendszerben a helyet egy koordináta-pár adja meg. Kétdimenziós például egy gömbfelület vagy egy sík. Egy pontjaival megadott alakzat megadható a meghatározó pontok koordinátáival is.

A fizikában használnak három-, illetve az idődimenzió hozzávételével négydimenziós koordináta-rendszereket (Minkowski-tér). Egyes alkalmazásokban elhanyagolható a harmadik dimenzió, ezekben kétdimenziós a koordináta-rendszer.

Megkülönböztetünk egyenes (mint Descartes-koordináta-rendszer, affin koordináta-rendszer, ferdeszögű koordináta-rendszer) és görbe vonalú (például elliptikus, poláris, henger, gömbi) koordináta-rendszereket.

Egy másik koordináta-rendszerre való áttéréskor ki kell számítani az új koordinátákat. Egyszerűbb az eset az egyenes vonalú koordináta-rendszerek esetén, ekkor eltolás és lineáris transzformáció kombinációjáról van szó.

Koordináta-rendszerekben a bázisvektorok a koordinátavonalakkal párhuzamosan futnak. Egy koordináta-rendszer bázisvektorai bázist alkotnak. Görbe vonalú koordináta-rendszerekben megkülönböztethetünk helyi és globális bázisokat. Akkor van globális bázis, ha minden pontban van ugyanaz a bázis. Véges dimenziós vektorterekben egy bázis felfogható egy ferdeszögű koordináta-rendszer bázisának.^[2]

Origó

Egy koordináta-rendszerben az origó az a pont, melynek minden koordinátája nulla. Rajta mennek keresztül a tengelyek, ha vannak. Poláris koordináta-rendszerekben pólusnak is nevezik. A földrajzi koordináta-rendszerben a két tengely az Egyenlítő és a nullmeridián.

Descartes-féle koordináta-rendszer

A Descartes-féle rendszerek bázisát és koordinátákat kétféleképpen értelmezhetjük:

• Közös kezdőpontú számegyenesektől (tengelyek) mért távolságok a koordináták.
• Közös kezdőpontú egységvektorok együtthatói adják a pont koordinátáit.

A sík koordináta-rendszerét 2 számegyenessel, ill. 2 egységvektorral, a térét 3-3 elemű bázissal adjuk meg.

A definíció nem köti ki a tengelyek merőlegességét, sem azt, hogy azok skálázása azonos legyen. Ezért megkülönböztethetünk

• ortogonális (derékszögű) és klinogonális (ferdeszögű)
• normált (azonos léptékű) és denormált (különböző léptékű)

rendszereket.

A klasszikus Descartes-féle rendszer ortonormált, vagyis ortogonális és normált.

Csak az ortogonális rendszerben azonosak egy pont fentebb kétféleképpen értelmezett koordinátái.

Síkbeli rendszer

A síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben egy ${\displaystyle P}$ pont helyzetét az ${\displaystyle XY}$ síkon az ${\displaystyle (x;y)}$ rendezett számpárral (koordináta-kettős) adjuk meg. A két tengely metszéspontja a koordináta-rendszer kezdőpontja az origó (${\displaystyle O}$). A megállapodás szerinti első ${\displaystyle x}$ koordináta az abszcissza, a második ${\displaystyle y}$ koordináta az ordináta. Ugyanezekkel a jelzőkkel különböztetjük meg a tengelyeket. A vektoros értelmezésnél az ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ tengelyek irányába mutató egységvektorokat ${\displaystyle (i;j)}$ jelöli.

• ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle P}$ pont előjeles távolsága az ${\displaystyle Y}$ tengelytől és
• ${\displaystyle y}$ a ${\displaystyle P}$ pont előjeles távolsága az ${\displaystyle X}$ tengelytől.
• illetve az ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=x{\underline {i}}+y{\underline {j}}}$.

Térbeli rendszer

A térben egy ${\displaystyle P}$ pont helyzetét az ${\displaystyle (x;y;z)}$ rendezett hármassal adjuk meg. A rendszer harmadik ${\displaystyle Z}$ tengelye az applikáta, a megfelelő egységvektor ${\displaystyle k}$. Meg kell különböztetni a három tengely (egységvektor) bejárási sorrendjét: jobb- vagy balsodrású rendszer (ld. ábra.)

• ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle P}$ pont előjeles távolsága az ${\displaystyle }$ síktól és
• ${\displaystyle y}$ a ${\displaystyle P}$ pont előjeles távolsága az ${\displaystyle }$ síktól és
• ${\displaystyle z}$ a ${\displaystyle P}$ pont előjeles távolsága az ${\displaystyle }$ síktól.
• illetve az ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=x{\underline {i}}+y{\underline {j}}+z{\underline {k}}}$.

A koordináta-rendszerek egyik meghatározója a tengelyek egymáshoz való viszonya. Ez azt írja le, hogy hogyan forgathatók egymásba. Két és három dimenzióban bal-, illetve jobbsodrású rendszereket különböztethetünk meg. Jobbsodrású rendszerekben az egymást követő tengelyek pozitív szöggel forgathatók el egymásba. Három dimenzióban a jobbkézszabály érvényesül, ahol rendre a hüvelyk-, a mutatóujj és a tenyér irányába kinyújtott középső ujj adja meg a tengelyek irányát.

Más dimenziók

• Az egyenes Descartes-féle koordináta-rendszert egyetlen számegyenes ill. egységvektor határozza meg.
• Einstein relativitáselméletének formulázására Hermann Minkowski használta a négydimenziós téridő (tér-idő) rendszert. Itt a három térbeli koordináta az idővel kiegészítve egy pont (test) térbeli és időbeli helyzetét adja meg: ${\displaystyle (x;y;z;t)}$.
• A lineáris algebra az Descartes-féle koordináták általánosításával értelmezett tetszőleges n dimenziós vektortér lineáris transzformációival foglalkozik. E tér pontjait (azok helyvektorait) az ${\displaystyle (x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n})}$ rendezett n-essel, vagy véges, n elemű sorozatokkal reprezentálja.
• A Hilbert-tér pontjait az ${\displaystyle (x_{1};x_{2};\ldots )}$ (nem feltétlenül megszámlálhatóan) végtelen sorozatok képviselik.
• A síkban a Descartes-féle koordináta-rendszerben egy egyenest az ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ egyenlettel adunk meg. Ennek az együtthatói az egyenes homogén vonal-koordinátái: .
• A térben egy sík egyenlete: ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$. A sík homogén koordinátáit az rendezett négyes alkotja.

Polárkoordináták