Lásd még: A komplex számok tanítása

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.^{[megj 1]}

A komplex számok megalkotása

A komplex számok halmazát ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vagy ${\displaystyle \mathbf {C} }$ betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)

A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.

Halmazelméleti modell	Geometriai modell	Algebrai modell
${\displaystyle \mathbb {C} :=\{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}}$, azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ Descartes-szorzat.	${\displaystyle \mathbb {C} :=\{r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }|r\geq 0,\varphi \in \mathbb {R} \}}$, ahol az ${\displaystyle r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }}$ alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge)	${\displaystyle \mathbb {C} :=\mathbb {R} /(x^{2}+1)}$, azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai)
Szorzás:	Szorzás:	Szorzás:
${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}$	Itt ${\displaystyle \cdot }$ a függvénykompozíció ( ${\displaystyle \circ }$ ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja	a polinomok szorzása
Összeadás:	Összeadás:	Összeadás:
${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$	a képpontba mutató vektorok összege	a polinomok összeadása
A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:
1 := (1,0)	1 := F0° = id (a nulla fokos forgatás)	1 := az azonosan 1 polinom
Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:
(0,1)${\displaystyle \cdot }$(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1	F+90°${\displaystyle \circ }$F+90° = F180° = – id = – 1	x${\displaystyle \cdot }$x = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.

Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

Halmazelméleti modell

A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}$

formulával definiáljuk;

a szorzást a kissé légbőlkapott

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)\,}$

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, ${\displaystyle \cdot }$) matematikai struktúra valóban testet alkot a

0 := (0,0) additív neutrális elem és a

1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem

választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

${\displaystyle -(a,b)=(-a,-b)}$

és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

${\displaystyle {\frac {1}{(a,b)}}=\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right).}$

A valós számtestet az

R ${\displaystyle \rightarrow }$ R×R, a ${\displaystyle \mapsto }$ (a,0)

bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:

(0,1)² = (0,1)${\displaystyle \cdot }$(0,1) = (0${\displaystyle \cdot }$0 – 1${\displaystyle \cdot }$1,1${\displaystyle \cdot }$0 + 0${\displaystyle \cdot }$1) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

Geometriai modell

A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó ${\displaystyle {\mbox{ }}_{r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }}}$ leképezés mátrixa:

Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Komplex_számok
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---