A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
A fizikában a hatáselv a mozgás természetéről tett állítás, amiből egy erőhatás alatt álló test pályája meghatározható, illetve a kölcsönhatás és átalakulás egyenletei levezethetők. A befutott pálya olyan, amelynek mentén számított hatás stacionárius, azaz a pálya kis odébbtolására nem változik. Így a pályát nem az erőhatásokra bekövetkező gyorsulások alapján próbáljuk felépíteni, hanem a stacionárius hatás alapján próbáljuk kiválasztani a lehetséges pályák közül.
A legáltalánosabban használt elnevezés a legkisebb hatás elve, de tartalmilag ez az elnevezés nem pontos. Az elvet precízebben stacionárius hatás elvének nevezhetnénk, vagy egyszerűen Hamilton-elvnek.
A hatás egy skalármennyiség (egy szám), energia × idő mértékegység dimenzióval. Az elv egyszerű, általános és hatásos elmélet a klasszikus mechanika mozgásainak leírására. A hatáselv kiterjesztése leírja az elektrodinamikát, relativitáselméletet és kvantumelméletet.
A hatáselv néhány alkalmazása
Bár a klasszikus mechanikában egyenértékű a Newton-törvényekkel, a hatáselv alkalmasabb az általánosításra és fontos szerepet játszik a modern fizikában. Az elv valóban a fizika egyik nagyszerű általánosítása. Különösen a kvantummechanikában lehet értékelni és legjobban megérteni. A kvantummechanika Richard Feynman által felépített útintegrál megfogalmazása a stacionárius hatás elvén alapul. A Maxwell-egyenletek is származtathatók az elvből.
A fizika sok problémája állítható fel és oldható meg a hatáselv formájában, mint például megtalálni a legrövidebb utat a parthoz, hogy elérjünk egy fuldoklót. A dombról lefutó víz a legnagyobb lejtőt keresi, a leggyorsabb utat, egy medencébe folyó víz úgy terül szét, hogy a felszíne a lehető legalacsonyabban legyen. A fény a leggyorsabb utat követi egy optikai rendszeren keresztül (Fermat-elv vagy legrövidebb idő elve). Egy test pályája gravitációs mezőben (azaz szabadesés a téridőben, egy ún. geodézikus vonal) a hatáselv segítségével határozható meg.
A szimmetriák is jobban kezelhetők a hatáselvvel és az Euler–Lagrange-egyenletekkel, amiket szintén a hatáselvből származtatunk. Egy példa erre a Noether-tétel, amelyik kimondja, hogy minden folytonos szimmetria megfelel egy megmaradási törvénynek és megfordítva. Ez a mély kapcsolat megköveteli, hogy a hatáselvet feltételezzük.
A klasszikus mechanikában (nemrelativisztikus, nemkvantumos) a hatás korrekt alakja bizonyítható Newton mozgástörvényeiből. Megfordítva, a korrekt hatásból kiindulva a hatáselv szolgáltatja a Newton-egyenleteket. A hatáselv alkalmazása sokszor egyszerűbb, mint a Newton-törvényeké. A hatáselv egy skalárelmélet, aminek alkalmazásai elemi számításokat igényelnek.
Történeti összefoglaló
A legkisebb hatás elvét először Maupertuis fogalmazta meg 1746-ban, majd 1748-tól kezdődően Euler, Lagrange és Hamilton fejlesztette tovább. Maupertuis abból az érzésből vezette le az elvet, hogy az Univerzum tökéletessége megkíván egyfajta gazdaságosságot és nem fér össze semmilyen energiapazarlással. A természetes mozgás olyan kell legyen, ami valamilyen mennyiséget minimalizál. Már csak azt kell kitalálni, melyiket. Ő ezt a vis viva-ban, vagy élőerőben találta meg, amit ma mozgási energiának hívunk.
Euler munkájában ("Reflexions sur quelques loix generales de la nature", 1748) elfogadta a legkisebb hatás elvét, a mennyiséget "erőfeszítésnek" hívva. Az ő kifejezése megfelel a helyzeti energiának, azaz a hatáselv a statikában megfelel annak az elvnek, hogy a testek olyan helyzetet vesznek fel, amely minimalizálja a teljes helyzeti energiát.
A hatáselv a klasszikus mechanikában
Newton mozgásegyenletét számos módon felállíthatjuk. Az egyik közülük a Lagrange-formalizmus vagy Lagrange-mechanika. Ha egy részecske pályáját a idő függvényében -vel, sebességét -vel jelöljük, akkor a Lagrange-függvény valószínűleg ezek függvénye, beleértve az explicit időfüggést is:
Az S hatásintegrál a Lagrange-függvény időintegrálja t1 időbeli x(t1) pont és a t2 időbeli x(t2) között:
A Lagrange-mechanikában egy részecske pályáját úgy találhatjuk meg, hogy az erre vett S hatásintegrál stacionárius (minimum vagy nyeregpont). A hatásintegrál egy funkcionál (egy függvénytől – esetünkben x(t)-től – függő függvény). Ha a rendszerben konzervatív erők (potenciállal kifejezhető erők – ilyen például a gravitációs és nem ilyenek a súrlódási erők) hatnak, akkor a mozgási energia és a helyzeti energia különbségeként megválasztott Lagrange-függvény a helyes Newton-törvényekhez vezet. Megjegyezzük, hogy a mozgási és helyzeti energia összege a rendszer teljes energiája.
Euler–Lagrange-egyenletek
Egy pályamenti integrál stacionárius pontja ekvivalens differenciálegyenletek egy együttesével, amiket Euler–Lagrange-egyenleteknek hívunk. A következőkben láthatjuk ezt, ahol egy koordinátára szorítkozunk az egyszerűség kedvéért. A több koordinátára való kiterjesztés egyértelmű.
Tegyük fel, hogy van egy S hatásintegrálunk L-en ami az időfüggő koordinátától és időfüggő időderiváltjától függ (x(t) és dx(t)/dt):
Tekintsünk egy másik x1(t) görbét (pályát), ami ugyanabban a pontban kezdődik és végződik, mint az első görbe, és tegyük fel, hogy a két görbe közötti távolság mindenhol kicsi: ε(t) = x1(t) – x(t) kicsi. A kezdő- és végpontban ε(t1) = ε(t2) = 0.
Az első és második görbe mentén vett integrálok különbsége (amit S variációjának hívunk):
ahol L-et ε és ε′ szerint első rendben fejtettük ki. Hajtsunk végre parciális integrálást a második tagon és használjuk ki a ε(t1) = ε(t2) = 0 feltételeket:
S minden pontban stacionárius, azaz δ S = 0 minden ε-ra. Megjegyezzük, hogy lehet szó minimumról, nyeregpontról vagy formálisan maximumról is.
δ S = 0 minden ε-ra, akkor és csak akkor, ha:
- Euler–Lagrange-egyenletek
Ahol x-et xa-val helyettesítettük (a = 0,1,2,3), mivel a kapott eredménynek minden koordináta esetén igaznak kell lennie. Ezeket az egyenleteket a variációs probléma Euler–Lagrange-egyenleteinek hívjuk. Az egyenleteknek egy fontos egyszerű következménye, hogy ha L nem függ explicit módon x-től (azaz x ún. ciklikus koordináta), azaz:
- ha , akkor állandó.
-nak konjugált impulzus a neve és ebben az esetben ez megmaradó mennyiség. Ha gömbi polárkoordinátákat használunk (t, r, φ, θ) és L nem függ φ-től, akkor a konjugált impulzus a megmaradó impulzusmomentum. Hasonló módon levezethető, hogy explicit időfüggés hiányában az energia megmaradó mennyiség, de ezt nem nevezhetjük az idő konjugált impulzusának.
A funkcionálanalízis formalizmusában az Euler–Lagrange-egyenletek egyszerűen így fejezhetők ki:
- .
Példa: Szabad részecske polárkoordinátákban
Triviális példák megtanítanak értékelni a hatáselvet és az Euler–Lagrange-egyenleteket. Egy szabad részecske (m tömeggel) az Euklideszi térben egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (v sebességgel). Polárkoordinátákban ez a következő módon mutatható meg. Potenciál hiányában a Lagrange-függvény egyszerűen a mozgási energia:
ortonormált (x,y) koordinátákban, ahol a pont a görbeparaméter (általában a t idő) szerinti deriválást jelöl. Polárkoordinátákban (r, φ) a mozgási energia és így a Lagrange-függvény:
Az r sugár és a φ polárszög Euler–Lagrange-egyenletei:
Analóg multiméterek túlterhelés elleni védelme
Egyenáram
Egyenáram mérése
Egyenirányítós lengőtekercses műszer
Elektromágnes (fizika)
Elektromos feszültség
Elektromos térerősség
Fáziseltolódás
Fázismutató
Fajlagos ellenállás
Feszültséggenerátor
Feszültségváltó
Forgó mágneses tér
Háromfázisú hálózat
Hőelektromosság
Hatásos ellenállás
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.