Ha végtelen sok számot adunk össze, akkor végtelen sort kapunk. Néhány példa:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots }$

${\displaystyle 1-1+1-1+1-\dots }$

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\dots }$

A végtelen sorok tanulmányozása már a 17. században elkezdődött. Bizonyos mennyiségek és függvények kiszámítása egyszerűbbé válik, ha végtelen soralakban írjuk fel őket.

Alapvető fogalmak

Ha (x_n) egy számsorozat, akkor numerikus soron (illetve az (x_n) számsorozatból képezett soron) az

${\displaystyle ((x_{n}),(s_{n}))\,}$

rendezett párt értjük, ahol

${\displaystyle s_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$

az (x_n) sorozat részletösszegeinek sorozata. Az (x_n)-ből képezett sor jelölésére a

${\displaystyle \sum (x_{n})\,}$

jelölés használatos. Ebben a tekintetben egy n számot indexnek, az x_n számot a sor n-edik tagjának nevezzük. x_n az s_n összeg utolsó tagja.

Gyakran van, hogy egy sor olyan (x_n) sorozatból készül, mely nem a természetes számok N halmazán, hanem annak az m számnál nagyobb-egyenlő számokból álló részhalmazán értelmezett. Ezt a következőféleképpen jelöljük: ${\displaystyle s_{n}=\sum \limits _{k=m}^{n}x_{k}}$

Megjegyzés. Sokszor magára a sorra csak mint az (s_n) részletösszeg-sorozatra gondolnak, nem szükséges, hogy a numerikus sort rendezett párként definiálják, legfeljebb néha előnyös.

Azt mondjuk, hogy a ∑(x_n) sor konvergens, ha a részletösszegeinek (s_n) sorozata konvergens. Ha ∑(x_n) konvergens, akkor az (s_n) határértékét a ∑(x_n) sor összegének nevezzük és a

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}\,}$

szimbólummal jelöljük.

Megjegyezzük, hogy a ∑(x_n) pontosan akkor konvergens, ha az első m-1 tagjának elhagyásával kapott ${\displaystyle {\sum \limits _{n=m}^{\infty }x_{n}}\,}$ sor is az. De a két sor összege már nem feltétlenül azonos. A sor összegezhetősége szempontjából ugyan nem, de a sor összege meghatározásánál lényeges az, hogy az összegzést melyik indextől kezdjük. Például tetszőleges q valós számra

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n}\,}$ és ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }q^{n}\,}$

egyszerre konvergensek vagy nem, de az |q| < 1 összegezhetőségi feltétel fennállása esetén

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}\,}$ és ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }q^{n}={\frac {q}{1-q}}}$

Konvergenciakritériumok

Cauchy-konvergenciakritérium

Sorok összegezhetőségének megállapításánál ugyanaz a nehézség áll elő, mint a sorozatok konvergenciájának megállapításánál. Ha definíció szerint szeretnénk belátni a konvergenciát, akkor előre tudnunk kellene a sor összegét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a sorösszeg ismeretét.

Cauchy-kritérium. Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

1. ∑(a_n) végtelen sor konvergens
2. ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {Z} ^{+}\quad \forall n,m\in \mathbf {Z} ^{+}:\quad n>m>N\quad \Rightarrow \quad \left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon \,}$

Ezt azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata a Cauchy-sorozat. Ugyanis

${\displaystyle s_{n+k}-s_{n}=\sum _{i=n+1}^{n+k}a_{i}}$.

Szükséges kritérium

Konvergens numerikus sorok esetén lehetetlen, hogy az a sorozat, amiből a sort képeztük ne legyen nullsorozat.

Sorok összegezhetőségének szükséges feltétele

Ha a ∑(a_n) sor konvergens, akkor a_n ${\displaystyle \to }$ 0.

Ugyanis, legyen a sor összege A ∈ R és a ∑(a_n) részletösszegeinek sorozata (s_n). Mivel (s_n-1) részsorozata a konvergens (s_n)-nek ezért:

${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}\,}$

szintén konvergens és a konvergens sorozatok különbségének határértékére vonatkozó tulajdonság miatt:

${\displaystyle a_{n}\to A-A=0\,}$.

Ez a feltétel nem elégséges. Nevezetes ellenpélda ugyanis a

${\displaystyle \sum _{(1)}\left({\frac {1}{n}}\right)}$

harmonikus sor, mely divergens, bár a tagjai a nullához tartanak. Ezt már a Cauchy-kritériummal is igazolni tudjuk. Legyen ugyanis ε = 1/2 és N tetszőleges természetes szám. Ekkor az n = N + 1 és m = 2N számok olyanok, hogy

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\right|=\sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\geq \sum \limits _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{2N}}={\frac {N}{2N}}={\frac {1}{2}}=\varepsilon \,}$

Egy másik jellegzetes példa. A

${\displaystyle \sum _{(0)}({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})}$

sor tagjai a nullához tartanak, ugyanakkor a sor n-edik részletösszege teleszkopikus összeg és

${\displaystyle \underset{k}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Végtelen_sor
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---