A tetraéder egy négy háromszöglappal határolt poliéder. Az egyetlen konvex három dimenziós poliéder, aminek négy lapja van. Azonban többnyire szabályos tetraéderre gondolnak, amikor tetraéderről esik szó. A tetraédert nevezik három dimenziós szimplexnek, vagy háromszög alapú gúlának.

Általános értelemben a tetraéder háromszög alapú gúla. Egyik háromszög lapját alaplapnak, a többi háromszög lapot a palást részének tekintik. Mivel a legkisebb lap- és csúcsszámú poliéder, ezért szimplexnek nevezik. A háromszög térbeli megfelelőjének tekinthető; a háromszög 2 dimenziós szimplex.

A következők az általános értelemben vett tetraéderre vonatkoznak:

• Minden tetraédernek van beírt és körülírt gömbje.
• Súlypontja a csúcsokat és a szemközti háromszöglap súlypontját összekötő egyenesen van, és ennek a tetraéderbe eső szakaszát 3:1 arányban osztja.
• Négy csúcsának konvex burka.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ben a tetraéder megadható egy csúcsával, és három vektorral, amelyek másik végpontja a másik három csúcsba mutat. Ha ezeket a vektorokat ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ jelöli, akkor a tetraéder térfogata:

${\displaystyle \textstyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left\right|={\frac {1}{6}}\left|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}\,\right|}$

A tetraédernek 4 csúcsa, 4 lapja és 6 éle van. Ha megadjuk egyik oldalát három független adatával, és megadjuk a maradék három él hosszát, akkor a tetraéder már egyértelműen adva van, tehát hat független adatból meghatározható.

A továbbiakban, ha mást nem írunk, a szabályos tetraéderről lesz szó.

Matematikai összefüggések

Az a élhosszú szabályos tetraéder méretei
Térfogat  ≈ 0,12 a³	${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{12}}{\sqrt {2}}}$
Felszín  ≈ 1,73 a²	${\displaystyle A_{O}=a^{2}{\sqrt {3}}\,=V\,'(\rho )}$
A körülírt gömb sugara  ≈ 0,61 a	${\displaystyle R={\frac {a}{4}}{\sqrt {6}}=3\,\rho }$
Éleit érintő gömb sugara  ≈ 0,35 a	${\displaystyle r={\frac {a}{4}}{\sqrt {2}}}$
Beírt gömb sugara  ≈ 0,2 a	${\displaystyle \rho ={\frac {a}{12}}{\sqrt {6}}}$
Magasságagúlaként  ≈ 0,82 a	${\displaystyle k=\,{\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}=\rho +R}$
VTérfogat  körülírt gömb sugara	${\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}=\,{\frac {2}{9\pi }}{\sqrt {3}}}$
Lapszög  ≈ 70° 31' 44"	${\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {1}{3}}}$
Lap-élszög  ≈ 54° 44' 8"	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta ={\sqrt {2}}}$
Csúcsszög ≈ 0,1755 π	${\displaystyle \cos \,\Omega ={\frac {23}{27}}}$
Tetraéderszög  ≈ 109° 28' 16"	${\displaystyle \cos \,\tau =-{\frac {1}{3}}}$

Az általános értelemben vett tetraéder térfogata

Az általános értelemben vett tetraéder térfogata a gúlák képletével számítható:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,m\,}$

ahol A₀ az alap, és m a hozzá tartozó magasság. Alapnak bármely lap választható, így egy tetraéder lapjainak területe és a hozzá tartozó magasság fordítottan arányos.

Ha a tetraéder csúcsainak koordinátái adottak:

a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃), c = (c₁, c₂, c₃) és d = (d₁, d₂, d₃),

akkor térfogata:

(1/6)·||(a − d, b − d, c − d)|,

vagy a csúcspárok bármely kombinációja, amelyek egyszeresen összefüggő gráfot alkotnak. Ez átírható vegyes szorzatra:

${\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot ((\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} ))|}{6}}.}$

Ha a d csúcsot a nullába toljuk:

d = 0, így

${\displaystyle V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},}$

ahol a, b, és c egy csúcsban összefutó élek, és a · (b × c) a vegyes szorzat. Összevetve a paralelepipedon térfogatképletével kapjuk, hogy a tetraéder térfogata hatoda annak a paralelepipedon térfogatának, amit ugyanaz a három él feszít ki.

A vegyes szorzat ábrázolható ezzel a determinánssal:

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}}${

${\displaystyle 6\cdot <!--\; \cdot \; -->V=}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Tetraéder
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---