A matematikában, ezen belül az euklideszi geometriában Ptolemaiosz tétele kapcsolatot fejez ki a húrnégyszög oldalai és átlói között. A tétel a híres ókori görög csillagászról és matematikusról, Klaudiosz Ptolemaioszról kapta nevét.

Ha a húrnégyszög 4 csúcsa: A, B, C és D (ebben a sorrendben a szokásos körüljárással jelölve), akkor a tétel állítása a következő:

${\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}$

ahol a felülvonással jelölt szakaszok a két pont közti távolságokat jelentik.

A tételt szöveggel a következőképpen fogalmazhatjuk meg:

Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

Továbbá a tétel megfordítása is igaz, vagyis:

Ha egy négyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával, akkor a négyszög húrnégyszög.

Példák

• Bármilyen négyzet beírható egy körbe, úgy, hogy a kör középpontja megegyezik a négyzet átlóinak metszéspontjával. Ha a négyzet oldala ${\displaystyle a}$, akkor átlóinak hossza ${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {2}}a}}$ (a Pitagorasz-tételből) és ezt a relációt kapjuk a Ptolemaiosz-tételből is.
• Téglalap esetén a tétel a Pitagorasz-tételbe megy át. Ha az oldalak a és b, akkor az átlók szorzata c² = a² + b² = aa + bb.
• Sokkal érdekesebb, ha egy a oldalú szabályos ötszög tetszőleges 4 csúcsára alkalmazzuk a Ptolemaiosz-tételt. Ebben az esetben a húrnégyszög átlói az ötszög b átlóival egyeznek meg, a négy oldal közül három pedig az ötszög a oldalával, a negyedik pedig az ötszög egyik b hosszúságú átlójával egyezik meg. Így Ptolemaiosz tétele segítségével a b² = a² + ab egyenlőséget olvashatjuk le, ami az aranymetszéshez vezet.

${\displaystyle \varphi ={b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

• Most az AD átmérő felezze a DC oldalt úgy, hogy DE és EC legyen a beírt szabályos tízszög két c hosszú oldala. Ekkor használhatjuk a Ptolemaiosz-tételt az ADEC húrnégyszögre, melynek egyik átlója a d átmérő.

${\displaystyle ad=2bc\;}$

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$, ahol ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi }}$ az aranymetszés aránya

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}}$

ahol a beírt tízszög oldalait felírhatjuk az átmérővel kifejezve. A Pitagorasz-tétel szerint az AED háromszög b oldalát megkaphatjuk az átmérőből, ezután pedig az ötszög a oldalát a következő képlet adja:

${\displaystyle a={\frac {b}{\varphi }}=b(\varphi -1)\;}$.

Bizonyítások

Elemi geometriai bizonyítás

1. Legyen ABCD egy húrnégyszög.
2. A BC ívhez tartozó két szög ∠BAC = ∠BDC, ugyanígy az AB ívhez tartozó két szög ∠ADB = ∠ACB.
3. Legyen K az AC szakaszon úgy, hogy ∠ABK = ∠CBD.
4. Megjegyezzük, hogy ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.
5. Mivel a szögeik megegyeznek, ezért △ABK és △DBC hasonló háromszögek, ugyanígy △ABD ∼ △KBC.
6. Ezért AK/AB = CD/BD, és CK/BC = DA/BD;
   1. Tehát AK·BD = AB·CD, és CK·BD = BC·DA;
   2. Összeadva a két egyenletet, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   3. De azt tudjuk, hogy AK+CK = AC, vagyis AC·BD = AB·CD + BC·DA; Q.E.D.

Ez a bizonyítás, csak egyszerű húrnégyszögekre igaz, ha a négyszög konkáv, a K pont eshet az AC egyenes szakaszon kívüli részére is. Ekkor AK-CK=±AC adja a helyes eredményt.

Trigonometriai bizonyítás

Elég ha a tételt egy egység sugarú körre bizonyítjuk. Tekintsük a négyszög P₁, …, P₄ csúcsait derékszögű koordináta-rendszerben. Írjuk fel a csúcsok koordinátáit az origóból a csúcsba mutató helyvektorok α₁, … , α₄ irányszögei segítségével:

${\displaystyle P_{i}=(\,\cos \alpha _{i},\sin \alpha _{i}\,)}$, ahol 0 ; 2 π ) {\displaystyle \alpha _{i}\in \,\,0;2\pi )\,} és ${\displaystyle i=1,...,4\,}$

A pontokat sorszámozzuk át úgy (ha eredetileg nem úgy lettek volna számozva), hogy a P₁, …, P₄ pontsorozat az óramutatóval ellentétes körüljárású legyen. Ekkor az irányszögek az index növelésével nőnek:

${\displaystyle \,\alpha _{1}<\alpha _{2}<\alpha _{3}<\alpha _{4}\,}$.

Fejezzük ki két pont távolságát szögekkel (ez lényegében a húr hosszára vonatkozó ismert képlet). Ha

${\displaystyle P=(\,\cos \alpha ,\sin \alpha \,)}$ és ${\displaystyle Q=(\,\cos \beta ,\sin \beta \,)}$

két pont, akkor ezek távolsága:

${\displaystyle {\overline {PQ}}=2\sin \left({\frac {|\alpha -\beta |}{2}}\right)}$

Innen a négyszög egymást követő P₁P₂, … P_iP_j,… , P₄P₁ szakaszainak hossza:

${\displaystyle {\overline {P_{i}P_{j}}}=2\sin \left({\alpha _{j} \over 2}-{\alpha _{i} \over 2}\right).}$

A Ptolemaiosz-tétel

${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{3}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{4}}}={\overline {P_{1}P_{2}}}\cdot {\overline {P_{3}P_{4}}}+{\overline {P_{1}P_{4}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{3}}}}$

aztán a négyzetes relációkból következnek

${\displaystyle \sin(\theta _{3}-\theta _{1})\sin(\theta _{4}-\theta _{2})=\sin(\theta _{2}-\theta _{1})\sin(\theta _{4}-\theta _{3})+\sin(\theta _{4}-\theta _{1})\sin(\theta _{3}-\theta _{2})\,}$

Eleget téve a szinuszfüggvény tulajdonságainak, és használva a trigonometrikus azonosságokat

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={1 \over 2}\left(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )\right)}$

azonosságot kapjuk.

Összefoglalva:

Bevezetve az eltérés szögeket: Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Ptolemaiosz-tétel
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.