Ez a szócikk a matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Parabola (egyértelműsítő lap).

A parabola (a görög παραβολή-ből) egy kúpszelet, amit úgy kaphatunk, ha a körkúp-felületet egy, a kúp alkotójával párhuzamos síkkal metsszük. Másik definíciója szerint a síkban egy adott ponttól (fókuszpont vagy gyújtópont) és egy, ezen a ponton át nem menő egyenestől (direktrix, vezéregyenes) egyenlő távolságra levő pontok mértani helye.

Különleges eset az, amikor a metszősík a kúpfelület érintősíkja. Ebben az esetben a parabola metszésvonal egyenessé fajul.

Definíciók és áttekintés

A parabola egyenletei

Descartes-féle koordináta-rendszerben egy, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyenlete, melynek csúcsa (h, k), fókuszpontja (h, k + p) és direktrixe y = k – p, ahol p a fókusz távolsága a csúcstól:

${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}$

vagy:

${\displaystyle (y-k)={\frac {1}{4p}}(x-h)^{2}\,}$

Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi alakú egyenlettel definiálható:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

ahol ${\displaystyle B^{2}=4AC\,}$, az összes együttható valós, A és C nem zéró, és ahol több, mint egy megoldás, mely egy (x, y) pontpárt definiál a parabolán, létezik. Az egyenlet nem redukálható, ez azt jelenti, hogy az egyenlet nem szorzata két szükségszerűen független lineáris tényezőnek.

Más geometriai definíciók

A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan kúpszelet, melynek excentricitása 1. Ennek következményeképpen minden parabola hasonló egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az értelemben parabola ellipszisként fogható fel, melynek egyik fókusza a végtelenben van. A parabola a kardioid inverz transzformáltja.

A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási paraboloid.

Egyenletek

Az egyenletekben szereplő jelölések: (h, k) a parabola csúcspontja, p a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pozitív, ha a csúcspont balra van a fókusztól, vagy ami ugyanazt jelenti, jobbra a direktrixtől.

Descartes-féle koordináta-rendszer

Függőleges szimmetria-tengely

${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}$

${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k\,}$

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

${\displaystyle {\mbox{ahol }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \ }$

${\displaystyle h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$.

Paraméteres egyenletek:

${\displaystyle x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,}$

Vízszintes szimmetria-tengely

${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}$

${\displaystyle x=a(y-k)^{2}+h\,}$

${\displaystyle x=ay^{2}+by+c\,}$

${\displaystyle {\mbox{ahol }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \ }$

${\displaystyle h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}}$.

Paraméteres egyenletek:

${\displaystyle x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,}$

Általános parabola

Általános egyenlet olyan parabolának melynek fókuszpontja F(u, v), és vezéregyenesének egyenlete

${\displaystyle n_{1}x+n_{2}y+c=0\,}$

az

${\displaystyle \frac{\left|n_{1}x+n_{2}y+c\right|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2}}=\sqrt{{\left(x-<!--\; -\; -->u\right)}^2+{\left(y-<!--\; -\; -->v\right)}^2}}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Parabola_(görbe)
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---