A Lissajous-görbéket egymásra merőleges rezgések által kijelölt síkgörbék. A görbéket Jules Antoine Lissajous írta le 1857-ben.

A Lissajous-görbék meglehetősen ismertek, mivel igen látványos és egyszerűen előállítható alakzatok, így akár díszítőelem funkciót is betölthetnek.

Leírás

A görbéket két, egymásra merőleges rezgés eredőjeként kapjuk.^[1] Elképzelhető ugyan más szöget bezáró mozgás is, azonban ezek is mindig felbonthatóak merőleges és párhuzamos komponensekre.

A görbék paraméteres alakja:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=a_{1}\cdot \sin(\alpha _{1}t+\varphi )\\y(t)&=a_{2}\cdot \sin(\alpha _{2}t)\end{aligned}}}$

A Lissajous-görbék egy téglalapot töltenek ki, aminek oldalhosszai a rezgések amplitúdója. A téglalapok oldalait érinti, az érintési pontok számának aránya a frekvenciák arányával egyenlő. Ennek következménye, hogy ha a két frekvencia aránya irracionális, a görbe a téglalapot kitölti. Másképpen fogalmazva a görbe periodikus függvény, ha a frekvenciák aránya racionális, és nem periodikus, ha irracionális szám.^[2]

Maga a görbe elképzelhető úgy is, hogy egy hengerfelületre írunk szinuszhullámot, és ezt a koordináta-rendszerbe vetítjük. A fázisszög a henger adott szögű elforgatásával egyenértékű, a henger magassága és átmérője az amplitúdókkal egyenlő, a hullám frekvenciája pedig a rezgések frekvenciájának arányával egyezik meg.

A legegyszerűbb eset

Ha a két frekvencia egyenlő, akkor a görbe vizsgálata egyszerű módszerekkel elvégezhető.

1. Ha ${\displaystyle \varphi =0}$, akkor ${\displaystyle {\frac {x}{a_{1}}}={\frac {y}{a_{2}}}}$, azaz a görbe egyenes, méghozzá az ${\displaystyle a_{1}}$ és ${\displaystyle a_{2}}$ oldalú téglalap átlója.
2. Ha ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$, akkor a szögfüggvények közötti összefüggéseket figyelembe véve kapjuk, hogy

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{a_{1}}}&=\cos(\alpha t)\\{\frac {y}{a_{2}}}&=\sin(\alpha t)\end{aligned}}}$.

Innen a Pitagorasz-tételt alkalmazva a görbe egyenlete az

${\displaystyle \left({\frac {x}{a_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a_{2}}}\right)^{2}=1}$

alakot ölti. Ez pontosan az ellipszis egyenlete.

Némileg bonyolultabb belátni, hogy ha ${\displaystyle \varphi =\pm {\frac {\pi }{4}}}$, akkor a görbe egy olyan ellipszis, amelynek a nagytengelye az ${\displaystyle a_{1};a_{2}}$ oldalú téglalp átmérőjén fekszik. Ehhez a másodrendű görbék ismerete szükséges.

Az összetettebb esetekben már mélyebb matematikai ismeretekre van szükség, ezeket itt nem részletezzük.

Alkalmazások

A Lissajous-görbéket a harmonográf használata során alkalmazzuk. Ekkor harmonikus rezgőmozgásokat az általuk létrehozott rajzok segítségével elemzünk. Ha egy ismeretlen rezgést egy rá merőleges másik rezgéssel összekapcsolunk, a kirajzolt ábra alapján a paramétereit meg tudjuk határozni.

Egyes esetekben logóként is alkalmazzák a Lissajous-görbéket, mivel látványos, ugyanakkor egyszerű alakzatok. Ilyen például az Australian Broadcasting Corporation emblémája.

Források