Figyelmeztetés: Az oldal megtekintése csak a 18 éven felüli látogatók számára szól!
Honlapunk cookie-kat használ az Ön számára elérhető szolgáltatások és beállítások biztosításához, valamint honlapunk látogatottságának figyelemmel kíséréséhez. Igen, Elfogadom

Electronica.hu | Az elektrotechnika alapfogalmai : Elektrotechnika | Elektronika



...


...
...


A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

Lineáris leképezés
 

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

  • két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
  • egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex test vagy a kvaterniók feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Definíciók

Legyen V és U a test feletti két vektortér. Az leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2V vektorra, illetve minden λ elemre és vV vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:

  • additivitás:
  • homogenitás:

A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ1, λ2, … , λn -beli elemre és v1, v2, … , vnV vektorra:

.

Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy egy feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az leképezés -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a , konjugálás ugyan -lineáris, de nem -lineáris.

A típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz

módon definiált képtér esetén
.

Magyarázat

Egy leképezés lineáris, ha megőrzi a vektortér szerkezetét, vagyis az összeadást és a skalárral szorzást. Legyenek vektorok a vektortérben! Ekkor, ha , akkor , így az összegzés átvihető az értékkészletre:







A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.