A matematikában (a statisztikában) a korreláció jelzi két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat nagyságát és irányát (avagy ezek egymáshoz való viszonyát). Az általános statisztikai használat során a korreláció jelzi azt, hogy két tetszőleges érték nem független egymástól. Az ilyen széles körű használat során számos együttható, érték jellemzi a korrelációt, alkalmazkodva az adatok fajtájához.

A korreláció csak a lineáris kapcsolatot jelzi. Például egy valószínűségi változó és négyzete korrelációja lehet nulla. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, akkor korrelálatlanok; ilyenkor a kapcsolatot, ha van, másként kell jellemezni, például feltételes valószínűségekkel. A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Így a korreláció jól alkalmazható normális eloszlásúnak tekinthető mérhető mennyiségek közötti kapcsolat erősségének mérésére.

Másfajta összefüggések kimutatására más eszközök kellenek. Használható például a kölcsönös információ:

${\displaystyle I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p_{1}(x)\,p_{2}(y)}}\right)},\,\!}$

vagy a feltételes valószínűségek. Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény bekövetkezik.

Van olyan, a korrelációhoz hasonló eszköz, amivel bármilyen függvénykapcsolat kimutatható.

Korrelációs együttható

A korrelációs együttható (r) előjele a kapcsolat irányát mutatja meg, a nagysága (0-1 közötti szám) pedig az együtt járás szorosságát, az összefüggés erejét mutatja.

A korrelációs együttható jelölései

• Populációbeli (elméleti) korrelációs együttható jelölése:
  • ρ(ejtsd: ró), ρ_xy, ρ(x,y)
• Mintabeli (Pearson-féle) korrelációs együttható jelölése:
  • r, r_xy, r(x,y)

A korrelációs együttható jellemzői^[1]1">szerkesztés

• -1 ≤ r ≤ +1; -1 ≤ ρ ≤ +1
• Ha X és Y független, akkor r(X,Y) = 0
• Ha r(X,Y) = 0, vagyis ha X és Y korrelálatlan, akkor nem feltétlenül függetlenek, de biztos, hogy nincs köztük lineáris típusú összefüggés.

Korreláció számításaszerkesztés

A korreláció a következő képlettel számítható:

${\displaystyle \mathrm {corr} {(X,Y)}={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\mathbb {D} (X)\cdot \mathbb {D} (Y)}}={\frac {\mathbb {E} \left(X-\mathbb {E} (X))(Y-\mathbb {E} (Y))\right}{\mathbb {D} (X)\cdot \mathbb {D} (Y)}}={\frac {\mathbb {E} (XY)-\mathbb {E} (X)\cdot \mathbb {E} (Y)}{\mathbb {D} (X)\cdot \mathbb {D} (Y)}},}$

ahol ${\displaystyle \mathbb {E} }$ a várható értéket, ${\displaystyle \mathbb {D} }$ a szórást jelöli.

A statisztikában nem állnak rendelkezésre az elméleti értékek, így a tapasztalati korrelációt a következőképpen számítják:

${\displaystyle r_{X,Y}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{(n-1)s_{X}s_{Y}}},}$

ahol ${\displaystyle {\bar {X}}}$ és ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ rendre ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ tapasztalati átlagát, valamint ${\displaystyle s_{X}}$ és ${\displaystyle s_{Y}}$ a tapasztalati korrigált szórást jelölik.

Korrelációt számíthatunk statisztikai programok segítségével is. A statisztikai elemzések/analyze menüpontban találhatjuk meg. A programok közölnek leíró statisztikát, megadják az r korrelációs együttható értékét, és a szignifikanciaszintet (p/sig jelöléssel), esetleg a konfidenciaintervallumot is.

Szignifikancia számításaszerkesztés

A korrelációs együttható szignifikanciájának vizsgálatához a H₀: ρ = 0 hipotézist fogalmazzuk meg. Döntésünk alapja egy n elemű mintában kiszámított korrelációs együttható (r).

A H₀ elutasíthatósága függ az r együttható nagyságától és az f szabadságfok nagyságától (f = n-2).

A szignifikancia kiszámításához t eloszlású statisztikát használunk. Ennek képlete:

${\displaystyle t=r\cdot {\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}}$

Az egyenlet eredményének és a t eloszlású változó eloszlásának statisztikai táblája segítségével határozhatjuk meg, hogy eredményünk szignifikáns-e, és ha igen, akkor milyen mértékben.

Ha |t| > t_table, elvetjük H₀-t és azt mondjuk, hogy a populáció korrelációs együtthatója különbözik 0-tól. Tehát, ha a kapott eredményünk abszolút értéke nagyobb, mint a táblázatban az adott szabadságfokhoz és szignifikanciaszinthez (ez általában 0,95) tartozó szám, akkor 95%-os bizonyossággal elutasíthatjuk a nullhipotézist.

Korrelációmátrixszerkesztés

Az ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ valószínűségi vektorváltozó korrelációmátrixa

n valószínűségi változó (X₁, ..., X_n), korrelációja egy n  ×  n-es mátrix, amiben az i,j-edik elem corr(X_i, X_j).

A korrelációmátrix szimmetrikus, mert X_i és X_j korrelációja megegyezik X_j és X_i korrelációjával. A valószínűségi változók normalizáltjainak kovarianciamátrixa megegyezik az adott valószínűségi mátrix kovarianciamátrixával, ezért pozitív definit.

Parciális korrelációszerkesztés

A parciális korreláció n > 2 valószínűségi változó esetén azt méri, hogy két valószínűségi változó milyen kapcsolatban áll egymással a többi változótól eltekintve.

Érzékenységszerkesztés

A korreláció nem függ az adatok nagyságától, de érzékeny a mintavételezésre. Egy szűkebb mintából számított korreláció rendszerint kisebb, mint a bővebb mintából számolt. Például, ha az apák és fiaik magasságának korrelációját számítjuk, akkor a teljes mintán erősebb összefüggést észlelünk, mintha csak azokon az adatokkal dolgoznánk, amik szerint az apák magassága 165 cm és 170 cm közé esik.

A korreláció érzékeny a kivételes adatokra (outlierek). Egy kivételes adat nagyon lecsökkentheti, vagy megnövelheti. Francis Anscombe példájában^[2] a négy y változónak ugyanaz a várható értéke (7,5), szórása (4,12), korrelációja (0,816), és a regressziós egyenese (y = 4 + 0,5x), a tapasztalati eloszlások mégis különböző képet adnak. A harmadik képen egy kivételes adat lecsökkenti az 1 korrelációt 0,816-re; a negyediken a független adatok 0 korrelációját ugyanennyire növeli. A korreláció nem veszi észre a második képen látható nemlineáris összefüggést sem.

Példákszerkesztés

• Az intelligencia és a kreativitás normális eloszlásúnak tekinthető. A különféle mérések szerint korrelációs együtthatójuk 0,19-0,39 közé esik. Ez a korreláció gyengének számít. Ezért mondják, hogy az intelligencia és a kreativitás között nincs kapcsolat.
• Legyen az A tulajdonság előfordulásának valószínűsége ${\displaystyle 6\cdot 10^{-3}}$, a B tulajdonságé ${\displaystyle 8\cdot 10^{-3}}$, a két tulajdonság együttes előfordulásának valószínűsége ${\displaystyle 7{,}5\cdot 10^{-4}}$. Ekkor A és B korrelációja 0,01483, gyakorlatilag nem létezik, bár mindkét feltételes valószínűség jóval nagyobb a nem feltételesnél: P(A|B) = 0,125 és P(B|A) = 0,09375, tehát a két tulajdonság nem független.

Alkalmazásokszerkesztés

Az idősorok elemzésében és a jelfeldolgozásban gyakran alkalmazzák a korrelációt az összehasonlításokban.

• Ha kiszámítjuk két adatsor értékkészletének korrelációját, akkor keresztkorrelációt kapunk.
• Ha egy adatsort és egy eltoltjának korrelációját számoljuk így ki, akkor autokorrelációról beszélünk.

A keresztkorreláció segít a két adatsor közötti összefüggés megtalálásában. Ha az egyik adatsort eltoljuk, akkor késleltetett hatások is felfedezhetők. Az autokorrelációval periódusok mutathatók ki az adatsorban.

A jelfeldolgozásban diszkrét adatsor helyett folytonos jelekkel is dolgoznak. Így adódik:

• a keresztkorreláció-függvény:

${\displaystyle R_{xy}(\tau )=\lim _{T_{F}\to \infty }{\frac {1}{T_{F}}}\int _{-{\frac {T_{F}}{2}}}^{\frac {T_{F}}{2}}x(t)\cdot y(t+\tau )\,\mathrm {d} t}$

• az autokorreláció-függvény:

${\displaystyle R_{xx}(}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Korreláció
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---