Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A kontinuitási egyenlet minden alábbi példája ugyanazt a gondolatot fejezi ki. A kontinuitási egyenletek a megmaradási törvények (erősebb) lokális kifejezései.

Elektromágneses elmélet

Az elektrodinamikában a kontinuitási egyenlet két Maxwell-egyenletből vezethető le. Azt fejezi ki, hogy az áramsűrűség divergenciája egyenlő a töltéssűrűség változási sebességének mínusz egyszeresével:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \rho \over \partial t}}$

Származtatás

Az egyik Maxwell-egyenlet szerint:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}.}$

Mindkét oldal divergenciáját véve:

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}}$,

de egy rotáció divergenciája nulla:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}=0.\qquad \qquad (1)}$

Egy másik Maxwell-egyenlet szerint:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho .\,}$

Helyettesítsük ezt be az (1) egyenletbe:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \rho \over \partial t}=0,\,}$

ami a kontinuitási egyenlet.

Interpretáció

Az áramsűrűség a töltéssűrűség áramlása vagy az áram(erősség) sűrűsége. A kontinuitási egyenlet szerint ha töltés távozik egy infinitezimális térfogatból (azaz az áramsűrűség divergenciája pozitív), akkor a töltés mennyisége a térfogatban csökken. Ezért a kontinuitási egyenlet az elektromos töltésmegmaradás kifejezése.

Áramlástan

Az áramlástanban a kontinuitási egyenlet a tömegmegmaradás kifejezése. Differenciális alakban:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

ahol ${\displaystyle \rho }$ a sűrűség, t az idő, és u a folyadéksebesség.

Kvantummechanika

A kvantummechanikában a valószínűség megmaradása szintén 'kontinuitási egyenlethez vezet. Legyen P(x, t) a valószínűségsűrűség, amivel:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \over \partial t}P(x,t)}$

ahol j a valószínűségi áram.

Kapcsolódó szócikkek

• Schrödinger-egyenlet
• Valószínűségi áram