Kirchhoff-törvények -

A Kirchhoff-törvények a villamosságtanban a töltés és az energia megmaradását tárgyalják. Először Gustav Kirchhoff mondta ki őket 1845-ben. Mindkét törvény közvetlenül levezethető a Maxwell-egyenletekből, de Kirchhoff még Ohm törvényeinek általánosítását használta fel.

Egy tetszőlegesen bonyolult villamos hálózat (áramkör) elemeire egyenként alkalmazható az Ohm-törvény, hiszen az összetartozó áram, feszültség és ellenállás mennyiségek közötti kapcsolatot mutatja. Viszont a több elemből álló hálózatnál a Kirchhoff-törvények nyújtanak segítséget, amelyek leegyszerűsíthetik a számítási műveleteket. Bonyolultabb áramkörök esetén a Kirchhoff egyenletrendszerek megoldása rendkívül hosszadalmas, ezért célszerűbb a Norton-tétel, Thévenin-tétel, Millman-tétel, vagy a szuperpozíció tételének alkalmazása.

A csomóponti törvény

Bármely csomópontba befolyó és onnan elfolyó áramok előjelhelyesen vett összege nulla. Ha a befolyó áramot pozitívnak, az elfolyót negatívnak vesszük, akkor:
-i₁ + i₂ - i₄ + i₃ = 0
Ebből következik, hogy
i₁ + i₄ = i₂ + i₃

Kirchhoff I. törvénye.

A csomóponti törvény párhuzamos (elágazó) áramkörökre vonatkozik. Az elágazásnál csomópont keletkezik. A törvény értelmében a csomópontba befolyó áramok összege megegyezik az onnan elfolyó áramok összegével. A törvény alapja az, hogy egy villamos hálózat csomópontjaiban nincs töltésfelhalmozódás (forrásmentes hely).

Az ábrán a csomópontot egy befeketített kör jelöli. A csomópont egyben az elektromos kötés helyét is jelöli.

A csomópontnak létezik még egy fontos jellemzője, az, hogy elektromos potenciállal rendelkezik. Ez a potenciál egy másik csomóponthoz képest mérhető, nagysága függ az összekötő elem(ek) ellenállás-értékétől, és az átfolyó áram nagyságától. A potenciálkülönbség átfolyó áramot hoz létre egy ellenálláson, de azt is mondhatjuk, hogy az átfolyó áram hatására jön létre az ellenállás két végpontja között potenciálkülönbség.

A huroktörvény

Kirchhoff II. törvénye.

Sorosan kapcsolt áramköri elemekre vonatkozik. A törvény értelmében bármely zárt hurokban a feszültségek előjeles összege nulla.

Az előjel megállapítása úgy történik, hogy egy tetszőleges irányítású "körüljárási irányt" veszünk fel. A körüljárási irányt egy be nem záródó körvonal végén a nyíl jelzi. Ha az áramkör csak egy hurokból áll, a kör középpontjába írt "+" mutatja, hogy az ilyen irányú feszültségeket tekintjük pozitív előjelűnek (azok a feszültségek pedig, melyek iránya a körüljárási iránnyal ellentétes, negatív előjelűek). Ha az áramkör több hurokból áll, a kör középpontjába a hurok sorszáma kerül (az ábrán I.). Zárt hurokban a feszültségforrások összege megegyezik a feszültségesések összegével.

A körüljárási irányt az óramutató járásával megegyezőnek választottuk. Az ezzel megegyező irányú részfeszültségek pozitívak:
– U_g + U₁ + U₂ = 0
Ebből következik, hogy
U_g = U₁ + U₂

Az egyesített Kirchhoff-törvény

Mivel mindkét törvény mindenféle hálózatra igaz, bátran lehet alkalmazni őket ismeretlen feszültségek és/vagy áramok kiszámítására. A most megismertetett két módszerrel bármilyen, tetszőlegesen bonyolult villamos hálózatot ki tudunk számítani, feltéve, ha adottak a megfelelő számú adatok (adatok alatt feszültségek, áramok, ellenállások értékei értendők).

Csak annyit kell tennünk, hogy minden hurokra és minden csomópontra felírjuk a törvényszerűségeket, majd az „ahány ismeretlen, annyi egyenlet” módszerrel az összes ismeretlen feszültséget és áramot ki tudjuk számolni.

Példák:

a)
Vizsgáljuk meg először az I. hurokegyenletet!
I. – U_g1 + U_R1 + U_R2 = 0
A nem aktív elemek feszültségeit helyettesítsük be az Ohm-törvényből levezethető
U = I * R kifejezéssel.
Így:
I. – U_g1 + I_1,2 * R₁+ I_1,2 * R₂= 0
Az egyenlet egy ismeretlent tartalmaz, a megoldása:
I_1,2=U_g1/(R₁+R₂)

b)
Vizsgáljuk most a II. hurokegyenletet!
II. - U_R2 - U_R1 + U_R3 + U_R4= 0
A nem aktív elemek feszültségeit ismét helyettesítsük be az Ohm-törvényből levezethető U=I*R kifejezéssel.
Így:
II. - I_1,2 * R₁ - I_1,2 * R₂ + I_3,4 * R₃ + I_3,4 * R₄= 0
Az egyenlet két ismeretlent tartalmaz (I_1,2 és I_3,4), de az I_1,2 áram az a) pontból behelyettesíthető, így az I_3,4 áram meghatározható:
I_3,4=I_1,2(R₁+R₂)/(R₃+R₄)

c)
A csomóponti egyenletből
A: I_e - I_1,2 - I_3,4
meghatározható az eredő áram:
I_e=I_1,2 + I_3,4

d)
Az Ohm-törvényből meghatározható az eredő ellenállás:
R_e=U_g1 / I_e
valamint a részfeszültségek:
U_R1=I_1,2 * R₁
U_R2=I_1,2 * R₂
U_R3=I_3,4 * R₃
U_R4=I_3,4 * R₄

Források

Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Kirchhoff-törvények
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.