A matematikában az imaginárius egység (vagy képzetes egység) egy olyan komplex szám, melynek négyzete −1. Leggyakrabban i, j vagy az ι (ióta) betűvel jelölik. Az imaginárius egység bevezetésével a valós számok halmaza (${\displaystyle \mathbb {R} }$) kiterjeszthető a komplex számok halmazára (${\displaystyle \mathbb {C} }$). A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.

Meghatározás

A képzetes egység az alábbi másodfokú egyenlet egyik megoldásaként definiálható. x²+1=0, vagy másképpen x²=-1.

Ez az egyenlet a valós számok halmazán nem oldható meg, mert nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív lenne. Alkothatunk azonban egy új, a valós számokon kívül álló számot, melynek meghatározó tulajdonsága, hogy kielégíti a fenti egyenletet. Az, hogy ez a mesterségesen megalkotott szám létezik-e vagy sem, nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. Matematikai szempontból éppen annyira jól definiált fogalom, mint más számok.

A képzetes egységre a valós számoknál megszokott műveleteket is kiterjeszthetjük. Ennek módja, hogy i-t ismeretlen matematikai objektumként kezeljük, az egyetlen átalakítás, amit megtehetünk vele kapcsolatban az, hogy alkalmazzuk a meghatározást (0=x²+1) és i² helyett -1-et írunk. Ezt az elvet követve megállapítható, hogy i magasabb egész kitevős hatványai -i, 1 és i:

i³=i²•i=-i,

i⁴=i³•i=-i•i=-1•-1=1

i és -i

A ${\displaystyle x^{2}=-1\,\!}$ egyenletnek i bevezetése után 2 elkülönülő megoldása is van, amik egyenlően érvényesek és történetesen az ellentettjei és reciprokai egymásnak. Pontosabban, ha egyszer az egyenlet i megoldása adott (i definíciója alapján), akkor a -i (ami nem egyenlő i-vel) is egy megoldás. Miután az egyenletet használtuk i meghatározására, úgy tűnhet, hogy az egyenlet gyökei bizonytalanok (avagy nem jól definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve „pozitív i”-nek. Ez azért van, mert habár i és -i mennyiségileg nem egyenlőek (ellentettjei egymásnak), a valós számok felől közelítve minőségileg azonosak: Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám aminek a négyzete -1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a -i-t +i-re cserélnénk (és ugyanúgy minden +i-t -i-re) minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. Az ${\displaystyle x^{2}+1=0\,\!}$ két ${\displaystyle x\,\!}$ gyöke közül egyik sem mondható előbbvalónak a másiknál.

Precízebben fogalmazva bár a komplex számok halmaza ${\displaystyle \mathbb {R} /(x^{2}+1)\,\!}$-ként meghatározva egyedi az izomorfizmus szintjén (azaz minden lehetséges ilyen struktúra izomorf egymással), abban az értelemben nem egyedi, hogy pontosan 2 halmaz automorfizmusa van ${\displaystyle \mathbb {R} /(x^{2}+1)\,\!}$-nek, az azonosság X -X-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kizárólagos automorfikus csoportjai, hanem csak azok, melyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)

Egy hasonló probléma merül fel, ha a komplex számokat 2 × 2-es valós mátrixokként definiáljuk, mert akkor mindkét

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

és

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\\\end{bmatrix}}}$

megoldása az :${\displaystyle x^{2}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}}$

mátrixegyenletnek.

Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a „pozitív” körforgás „iránya” az egység-körben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja SO (2, R) pontosan 2 elemet tartalmaz - az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órajárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.

Ezek a felszíni kellemetlenségek elkerülhetők a komplex szám más definícióinak használatával. Például a rendezett páron alapuló definíció esetén az imaginárius egység a (0; 1) párnak felel meg.

Pontos használat

Az imaginárius egység néha ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$-ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben, valamint laikusoknak szóló népszerű szövegekben is; azonban ez megtévesztő lehet. A négyzetgyökjelet általában csak a valós ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$ számokra szokás értelmezni, esetleg komplex számoknál az elsődleges komplex négyzetgyököt lehet jelölni vele. Ha a valós számok halmazából ismert gyökvonási azonosságokat próbáljuk alkalmazni a komplex számok elsődleges gyökvonási műveletére, akkor hibás eredményeket kaphatunk:

${\displaystyle -1=i*i={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1}$. (hibás)

A

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

azonosság csak a és b nem negatív valós értékeinél áll fenn. Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat, egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$ helyett célszerűbb ${\displaystyle i{\sqrt {7}}}$-t írni.

Az imaginárius egység négyzetgyöke

Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük i négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:

${\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$, amennyiben ${\displaystyle ({\sqrt {C}})^{2}=i}$

Ez levezethető Euler formulájából:

${\displaystyle i=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)\,}$

és

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$

ezért

${\displaystyle e^{i(\pi /2)}=i\,\!}$

négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:

${\displaystyle e^{i(\pi /4)}=i^{1/2}\,\!}$

ha x = π/4 in cos(x), akkor

Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Imaginárius_egység
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---