A szilárd testek külső mechanikai terhelések (erő, nyomaték, nyomás) hatására alakváltozást szenvednek. Az alakváltozás a test terhelés alatti és terheletlen állapotában mérhető méreteinek különbsége.

Fajlagos nyúlás

A hosszú, állandó keresztmetszetű rúd húzóerő hatására megnyúlik. A deformáció mértékéül a fajlagos nyúlás használatos, mely alkalmas arra, hogy az alakváltozást más esetekkel össze lehessen hasonlítani:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\ L-L_{0}}{L_{0}}}={\frac {{\Delta }{L}}{L_{0}}}}$

ahol

${\displaystyle L_{0}}$ a rúd terheletlen hossza, m

${\displaystyle L}$ a húzott rúd megnyúlt hossza, m

${\displaystyle {{\Delta }{L}}}$ a rúd megnyúlása, m

A dimenzió nélküli fajlagos nyúlás pozitív, ha a rúd hossza megnő terhelés alatt (húzás esetén) és negatív, ha a rúd hossza csökken (nyomás esetén), mivel a hosszak mindig pozitív értékek, így a fajlagos nyúlás előjele az alakváltozás előjelével változik. A fajlagos nyúlás dimenziónélküli mennyiség, a gyakorlatban 100-szoros értékét százalékban szokták megadni. A közönséges szerkezeti anyagokra (fémekre, fára, betonra, kőre stb.) a fajlagos nyúlás igen kis érték szokott lenni, ezért a gyakorlatban előfordul a mikrométer/méter vagy μm/m megadás is.

Fajlagos nyúlás egy pontban

A rúd egy pontjában a fajlagos nyúlás a fenti hányados határértéke, ha az ${\displaystyle L}$ hossz tart nullához:

${\displaystyle \varepsilon =\mathop {\lim _{L\to 0}} {\frac {{\Delta }{L}}{L}}}$

Más szóval a fajlagos nyúlás egy pontban a pont közvetlen szomszédságában lévő távolságok változása.

A lineáris fajlagos nyúlás általános esete

Egy tetszőleges alakú testre, melyen bármilyen alakváltozás lép fel, a fajlagos nyúlás értéke a mérés térbeli irányától függ. Vizsgáljuk meg egy A pont lineáris alakváltozását, mely a koordináta-rendszer origója is egyúttal, az x tengelyen helyezzünk el egy második B pontot, mely az alakváltozás következtében a B' pontba mozdul el, akkor a lineáris fajlagos nyúlás:

${\displaystyle \varepsilon _{x}=\mathop {\lim _{B\to A}} {{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}}$

Hasonló számítást végezhetünk az y illetőleg a z tengely irányában is, ekkor az ε_y és az ε_z értékeket kapjuk. Egy tetszőleges ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ elmozdulásmezőre (elmozdulásmező = elmozdulásvektorok a test minden pontjára) a lineáris fajlagos nyúlások így írhatók:

${\displaystyle \varepsilon _{x}={{\partial u_{x}} \over {\partial x}}}$ ; ${\displaystyle \varepsilon _{y}={{\partial u_{y}} \over {\partial y}}}$ ; ${\displaystyle \varepsilon _{z}={{\partial u_{z}} \over {\partial z}}}$

ahol

${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ az i tengely irányába vett fajlagos nyúlás,

${\displaystyle {{\partial u_{i}} \over {\partial i}}}$ pedig az ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ i irányba vett parciális deriváltja egy tetszőleges pontban.

Nyírási fajlagos nyúlás

A fentiekhez hasonlóan határozható meg egy ponton átmenő két egyenes szögének fajlagos változása, melyet nyírási fajlagos nyúlásnak neveznek. A γ nyírási fajlagos nyúlás két egyenes által bezárt szög változásának és a terheletlen állapotban mért szög viszonyának határértéke, ha az egyenes szakaszok hossza tart nullához. Egy adott ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ elmozdulásmezőhöz az előzőekhez hasonlóan a nyírási fajlagos nyúlások a következőképpen írhatók:

${\displaystyle \gamma _{xy}={{\partial u_{x}} \over {\partial y}}+{{\partial u_{y}} \over {\partial x}}}$ ; ${\displaystyle \gamma _{yz}={{\partial u_{y}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{z}} \over {\partial y}}}$ ; ${\displaystyle \gamma _{xz}={{\partial u_{x}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{z}} \over {\partial x}}}$

Fajlagos térfogatváltozás

Bár az ε lineáris fajlagos nyúlás és a γ nyírási fajlagos nyúlás teljes mértékben leírja egy test alakváltozását, lehetséges más jellemző fajlagos alakváltozást is definiálni. Ilyen lehet például a fajlagos térfogatváltozás, mely egy test térfogatában végbement változás mértékét adja meg. A fajlagos térfogatváltozás definíciója egy adott pontban:

${\displaystyle \vartheta =\lim _{V_{0}\to 0}{V-V_{0} \over {V_{0}}}}$

ahol

${\displaystyle \vartheta }$ a fajlagos térfogatváltozás,

${\displaystyle V_{0}}$ a kezdeti térfogat,

${\displaystyle V}$ a terhelés alatt felvett térfogat.

Descartes-koordináta-rendszerben mindig igaz az alábbi összefüggés:

${\displaystyle \vartheta =\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}}$

ahol

${\displaystyle \vartheta }$ a fajlagos térfogatváltozás

${\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y},\varepsilon _{z}}$ a fajlagos nyúlás az x, y és z tengely mentén.

Az alakváltozási tenzor

A lineáris és nyírási fajlagos nyúlás fenti jelölései segítségével felírható az alakváltozási tenzor:

${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ij}=\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_i{u}_j+{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_j{u}_i}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Fajlagos_nyúlás
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---