A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és ennek deriváltja között teremt kapcsolatot. A problémák differenciálegyenletben való megfogalmazása a fizikában, mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban és még számos tudományban alapvető szerepet tölt be.

Hogy mennyire fontosak az alkalmazásaikban a differenciálegyenletek, jól példázza Newton második törvénye. Ez nem mond ki mást, mint, hogy az elmozdulás idő szerinti második deriváltja egyenesen arányos az erővel. Ha az erő minden pillanatban csak a test helyzetétől függ, akkor ez a differenciálegyenlet így írható:

${\displaystyle m{\ddot {x}}(t)=-kx(t)}$

ahol:

${\displaystyle ~m}$ a rezgő test tömege,

${\displaystyle ~x(t)}$ a kitérés (út) függvénye az idő szerint

${\displaystyle ~k}$ az úgynevezett rugómerevség

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)}$ a gyorsulás^[1]

az ismeretlen függvény az x(t), ennek t szerinti második deriváltja az ${\displaystyle {\ddot {x}}(t)}$.

és mindez csak akkor igaz, ha a tömeg nem változik, ha változik, akkor lásd: Newton törvényei.

A differenciálegyenletek nem kizárólag akkor jutnak szerephez, ha az időben folyamatosan változnak az állapotjelzők értékei, hanem olyan diszkrét (elkülöníthető lépésekben lezajló) folyamatok esetében is (mint mondjuk egy sakkjátszma, vagy a természetben élőlénypopulációk növekedése), amikor a folyamat meghatározó állapotjellemzőinek folytonosként való kezelése tömegméretekben kielégítő helyességgel írja le a folyamatot. Egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára vagy megfigyelések utalnak, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemzők között. Például a növekedés általában függ magától a populáció nagyságától – ez egy közvetlenül a tapasztalatból származó modell. A bolygómozgás differenciálegyenletei viszont a newtoni mechanikából eredeztethetők.

Általában egy (közönséges) differenciálegyenlet megoldását az y=y(x) alakban írjuk fel (szóban: y az x függvénye). Az egyenletben az y(x) jelölés helyett inkább csak az y-t használjuk. Feltesszük azonban, hogy y egy valós intervallumon értelmezett, legalább annyiszor differenciálható függvény, ahányadik deriváltja szerepel az egyenletben. Például az

${\displaystyle y'={\frac {1}{2y}}\,}$

egy megoldása a (0,+∞)-en értelmezett (és ott differenciálható) ${\displaystyle y(x)={\sqrt {x}}\,}$ függvény, egy másik a (2,+∞)-n értelmezett ${\displaystyle y(x)={\sqrt {x-2}}\,}$ függvény.

Az egyenleteket kielégítő megoldásfüggvények csak a legegyszerűbb esetekben fejezhetők ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az első inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat.

Differenciálegyenlet-típusok

• Közönséges differenciálegyenlet. Ebben az esetben az egyenlet egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva. Például:

${\displaystyle y'(x)=\sin(xy(x))\quad \quad (y(x)=?)}$

${\displaystyle x''(t)=-x(t)\quad \quad (x(t)=?)}$

az utóbbi a lineáris oszcillátor egyenlete (pl. az ideális rugó, ideális rezgőkör stb.).

• Parciális differenciálegyenlet. Ekkor az ismeretlen függvény többváltozós és az egyenletben szereplő deriváltjai parciális deriváltak. Például:

${\displaystyle {\frac {\partial z(x,y)}{\partial x}}+x{\frac {\partial z(x,y)}{\partial y}}=x^{7}\cdot y^{4}\quad \quad (z(x,y)=?)}$

${\displaystyle \partial _{t}S(t,x)+H(t,x,\partial _{x}S(t,x))+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{xx}^{2}S(t,x)=0\quad \quad (S(t,x)=?)}$

az utóbbi a sztochasztikus Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenlet.

• Algebro-differenciálegyenlet. A differenciálegyenlet mellett a megoldásnak az algebrai mellékfeltételeknek is eleget kell tennie.
• Késleletett differenciálegyenlet. Itt az ismeretlen és deriváltja mellett azok időbeli eltoltjai is szerepelnek.

Példa a populációdinamikából:

${\displaystyle {\dot {x}}=-\mu x(t)+\alpha px(t-\tau )}$^[2]

• Integro-differenciálegyenletek. Deriválás mellett integrálok is szerepelnek.

Erre példa az impulzusra felírt Schrödinger-egyenlet

A különböző alkalmazási területeken további típusok is felmerülhetnek.

Közönséges differenciálegyenletek típusai

• n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Például:

${\displaystyle y'(x)=\mathrm {sh} (x)+y^{2}(x)\,}$ elsőrendű,

${\displaystyle y''(x)+y^{3}(x)y'(x)=\mathrm {tg} (x)\,}$ másodrendű,

${\displaystyle y^{(4)}+7y=0\,}$ negyedrendű.

• lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példa:

${\displaystyle \sin(x)y'(x)+x^{2}y(x)+{\sqrt {x}}=0\,}$ elsőrendű lineáris,

${\displaystyle e^{x}y''(x)+(x^{4}-x)y'(x)-{\frac {x+1}{x^{3}}}y(x)+\cos(x)=0\,}$ másodrendű lineáris.

• nemlineáris, ha nem lineáris. Példa:

$$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Differenciálegyenlet
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---