Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

${\displaystyle |x|\,}$.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

${\displaystyle x\mapsto |x|\,}$

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos ${\displaystyle \scriptstyle {|\,.\,|}}$ jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

${\displaystyle \mathrm {abs} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;\;\;x\mapsto |x|}$

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Példák

${\displaystyle |7|=7}$

${\displaystyle |{-8}|=-(-8)=8}$

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

${\displaystyle |\,|x|\,|=|x|}$

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

A Lipschitz-folytonosság a szubadditivitásból és a fordított háromszög-egyenlőtlenségből következik, ahol a Lipschitz-konstans ${\displaystyle L=1}$:

${\displaystyle {\bigl |}|z|-|w|{\bigr |}\leq |z-w|}$.

Derivált és integrál

Az abszolútérték-függvény a ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ halmazon megegyezik az ${\displaystyle x\mapsto -x}$ függvénnyel, amely minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja ${\displaystyle -1}$. Hasonlóan, a függvény a ${\displaystyle (0,+\infty )}$ halmazon megegyezik az ${\displaystyle x\mapsto x}$ függvénnyel, amely szintén minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja ${\displaystyle 1}$. Emiatt a függvény az ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ halmazon differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

${\displaystyle \mathrm {abs} '(x)=\mathrm {sgn} (x)\quad \quad x\neq 0}$

Korlátos intervallumon integrálható. Egy határozatlan integrálja ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn}(x)}$.

Arkhimédészi tulajdonság

Az abszolútérték arkhimédészi norma, azaz, hogyha van egy ${\displaystyle n}$ egész szám, melyre ${\displaystyle |n|>1}$, akkor minden ${\displaystyle m>1}$ egész számra teljesül, hogy ${\displaystyle |m|>1}$.^[1]

Algebrai tulajdonságok

Multiplikativitás

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

${\displaystyle |}$Információ forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Abszolútérték-függvény
A lap szövege Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 3.0 licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a felhasználási feltételeket.

---